Feladatok függvényekhez


Függvények - feladatok és megoldások

Feladatok az alapfogalmakhoz

1. Írd fel a következő összefüggéseket függvényként!

a.) Benzinár: 1,2 €/l
x: ismert liter,
p(x): ár

MEGOLDÁS

    \[ \begin{bmatrix}{x}&{1}&{2}&{3}&{4}&{5}\\{p(x)}&{1,2}&{2,4}&{3,6}&{4,8}&{6}\end{bmatrix} f(x) = 1,2x\]

 

elrejt

 
b.) Telefonszámla:
alapköltség: ATS 26 €
kapcsolási díj: 9,30 € tarifaegységenként
x: tarifaegységek száma 
R(x): számladíj

MEGOLDÁS

    \[ \begin{bmatrix}{x}&{1}&{2}&{3}&{4}&{5}\\{R(x)}&{25,3}&{44,6}&{53,9}&{63,2}&{72,5}\end{bmatrix} f(x) = 9,3x + 26\]

 

elrejt

 
c.) Taxiutazás: alapdíj:
ATS 28 € kilométerár: ATS 8 €
x: megtett kilométer,
F(x): ár 

MEGOLDÁS

    \[ \begin{bmatrix}{x}&{1}&{2}&{3}&{4}&{5}\\{F(x)}&{36}&{44}&{52}&{60}&{68}\end{bmatrix} f(x) = 8x + 28\]

 

elrejt

 
d.) Egy olajtank 500 l olajat képes tárolni. Napi felhasznált mennyiség: 35 l t: idő napokban, R(t): megmaradt olajmennyiség 

MEGOLDÁS

    \[ \begin{bmatrix}{t}&{1}&{2}&{3}&{4}&{5}\\{R(t)}&{465}&{430}&{395}&{360}&{325}\end{bmatrix} f(x) = 500 - 35x \]

 

elrejt

 

 

2.) A következő függvények adottak, értelmezési tartományuk az \mathbb{R}!

f1 : x → x + 1
f2 : x → 2x
f3 : x → x2
f4 : x → \frac{1}{x}

a.) Rajzold meg a függvények képét értéktáblázat segítségével a [-3; 3] intervallumban! Ügyelj az értelmezési tartományokra!)

f1 : x → x + 1 

MEGOLDÁS

    \[ \begin{bmatrix}{x}&{-3}&{-2}&{-1}&{0}&{1}&{2}&{3}\\{f_1(x)}&{-2}&{-1}&{0}&{1}&{2}&{3}&{4}\end{bmatrix} \]

elrejt

 f2 : x → 2x 

MEGOLDÁS

    \[ \begin{bmatrix}{x}&{-3}&{-2}&{-1}&{0}&{1}&{2}&{3}\\{f_2(x)}&{-6}&{-4}&{-2}&{0}&{2}&{4}&{6}\end{bmatrix} \]

 

elrejt

 f3 : x → x

MEGOLDÁS

    \[ \begin{bmatrix}{x}&{-3}&{-2}&{-1}&{0}&{1}&{2}&{3}\\{f_3(x)}&{9}&{4}&{1}&{0}&{1}&{4}&{9}\end{bmatrix} \]

 

elrejt

 f4 : x → \frac{1}{x} 

MEGOLDÁS

    \[ \begin{bmatrix}{x}&{-3}&{-2}&{-1}&{0}&{1}&{2}&{3}\\{f_4(x)}&{-\frac{1}{3}}&{-\frac{1}{2}}&{-1}&{-}&{1}&{\frac{1}{2}}&{\frac{1}{3}}\end{bmatrix} \]

a 0 x érték nem megengedett az osztás miatt

elrejt

 

b.) Add meg az adott függvények inverzfüggvényét, ha létezik!
Példa: f : x = x – 2 → f-1 : x = y – 2 ⇒ y = x + 2

MEGOLDÁS

    \[ f_1 : y = x + 1 \rightarrow f_1^{-1} : x = y + 1 \Rightarrow y = x - 1\]

    \[ f_2 : y = 2x \rightarrow f_2^{-1} : x = 2y \Rightarrow y = \frac{x}{2} \]

    \[ f_3 : y = x^2 \rightarrow f_3^{-1} : x = y^2 \Rightarrow y = \sqrt{x}\]

    \[ f_4 : y = \frac{1}{x} \rightarrow f_4^{-1} : x = \frac{1}{y} \Rightarrow y = \frac{1}{x} \]

elrejt

 

c.) Add össze az adott függvényeket!
Példa: f1(x) + f2(x) = x + 1 + 2x = 3x + 1

c/1.) f1 + f3

MEGOLDÁS

f1 + f3 ⇒ x2 + x + 1

elrejt

c/2.) f2 + f3

MEGOLDÁS

f2 + f3 ⇒ x2 + 2x

elrejt

c/3.) f2 + f4

MEGOLDÁS

    \[f_2 + f_4 \Rightarrow 2x + \frac{1}{x} = \frac{2x^2 + 1}{x}\]

elrejt

c/4.) f3 + f4

MEGOLDÁS

    \[f_3 + f_4 \Rightarrow 2x + \frac{1}{x} = \frac{2x^2 + 1}{x}\]

elrejt

d.) Szorozd össze az adott függvényeket!
Példa: f1(x) . f2(x) = (x + 1) . 2x = 2x2 + 2x
d/1.) f1 . f3

MEGOLDÁS

    \[f_1 * f_3 \Rightarrow x^2 * (x + 1) = x^3 + x^2\]

elrejt

d/2.) f2 . f3

MEGOLDÁS

    \[f_2 * f_3 \Rightarrow 2x * x^2 = 2x^3\]

elrejt

d/3.) f2 . f4

MEGOLDÁS

    \[f_2 * f_4 \Rightarrow 2x * \frac{1}{x} = 2\]

elrejt

d/4.) f3 . f4

MEGOLDÁS

    \[f_3 * f_4 \Rightarrow x^2 * \frac{1}{x} = x\]

elrejt

e.) Add meg a következő összetett függvényeket!
Példa: f1(f2(x)) =2x + 1, de  f2(f1(x)) = 2(x+1) = 2x + 2
e/1.) f1(f3(x))

MEGOLDÁS

 f1(f3(x)) ⇒ x2 + 1

elrejt

e/2.) f3(f1(x))

MEGOLDÁS

 f3(f1(x)) ⇒ (x + 1)2 

elrejt

e/3.) f1(f4(x))

MEGOLDÁS

    \[f_1 ( f_4 (x)) \Rightarrow \frac{1}{x} + 1\]

elrejt

e/4.) f4(f1(x))

MEGOLDÁS

    \[f_4 ( f_1 (x)) \Rightarrow \frac{1}{x + 1} \]

elrejt

e/5.) f2(f3(x))

MEGOLDÁS

    \[f_2 ( f_3 (x)) \Rightarrow 2x^2 \]

elrejt

e/6.) f3(f2(x))

MEGOLDÁS

    \[f_3 ( f_2 (x)) \Rightarrow (2x)^2 = 4x^2 \]

elrejt

e/7.) f2(f4(x))

MEGOLDÁS

    \[f_2 ( f_4 (x)) \Rightarrow \frac{2}{x} \]

elrejt

e/8.) f4(f2(x))

MEGOLDÁS

    \[f_4 ( f_2 (x)) \Rightarrow \frac{1}{2x} \]

elrejt

 

Feladatok a lineáris függvényekhez

1.) Számold ki a zérushelyeket, a fixértéket és add meg az inverzfüggvényeket a következő függvényeknél!
(Zérushely: f(x) = 0, fixérték: f(x) = x) Rajzold meg a függvényt!
a.) f : y = 2x – 3

MEGOLDÁS

Zérushely:

    \[x = \frac{3}{2}, \]

Fixérték:

    \[2x - 3 = x \Rightarrow x = 3, \]

Inverzfüggvény:

    \[x = 2y - 3 \Rightarrow y = \frac{x + 3}{2} \]

elrejt

b.) f : y = -3x + 6  

MEGOLDÁS

Zérushely:

    \[x = 2, \]

Fixérték:

    \[-3x + 6 = x \Rightarrow x = \frac{3}{2}, \]

Inverzfüggvény:

    \[x = -3y + 6 \Rightarrow y = \frac{x - 6}{3} \]

elrejt

c.) f : y =  \frac{1}{4}x + 3  

MEGOLDÁS

Zérushely:

    \[x = -12, \]

Fixérték:

    \[\frac{1}{4}x + 3 = x \Rightarrow x = 4, \]

Inverzfüggvény:

    \[x = \frac{1}{4}y + 3 \Rightarrow y = 4x - 3 \]

elrejt

d.) f : y =  -\frac{3}{2}x + 9  

MEGOLDÁS

Zérushely:

    \[x = 6, \]

Fixérték:

    \[-\frac{3}{2}x + 9 = x \Rightarrow x = \frac{8}{15}, \]

Inverzfüggvény:

    \[x = -\frac{3}{2}y + 9 \Rightarrow y = \frac{(x - 9) * 2}{3} \]

elrejt

e.) f : y = x – 5  

MEGOLDÁS

Zérushely:

    \[x = 5, \]

Fixérték:

    \[x - 5 = x \Rightarrow x = nincs, \]

Inverzfüggvény:

    \[x = y - 5 \Rightarrow y = x + 5 \]

elrejt

f.) f : y =  \frac{1}{3}x - 2  

MEGOLDÁS

Zérushely:

    \[x = 6, \]

Fixérték:

    \[\frac{1}{3}x - 2 = x \Rightarrow x = -\frac{1}{3}, \]

Inverzfüggvény:

    \[x = \frac{1}{3}y - 2 \Rightarrow y = (x + 2) * 3 \]

elrejt

g.) f : y = -0,5x – 3  

MEGOLDÁS

Zérushely:

    \[x = -6, \]

Fixérték:

    \[-0,5x - 3 = x \Rightarrow x = -2, \]

Inverzfüggvény:

    \[x = -0,5y - 3 \Rightarrow y = -2(x + 3) \]

elrejt

h.) f : y = 7 – x  

MEGOLDÁS

Zérushely:

    \[x = 7, \]

Fixérték:

    \[7 - x = x \Rightarrow x = \frac{7}{2}, \]

Inverzfüggvény:

    \[x = 7 - y \Rightarrow y = 7 - x \]

elrejt

2.) Add meg a lineáris függvény egyenletét, mely átmegy az origón és a megadott P ponton!
a.) P (4; 6)

MEGOLDÁS

    \[f(x) = \frac{6}{4}x \]

elrejt

b.) P (12; 3)

MEGOLDÁS

    \[f(x) = \frac{1}{4}x \]

elrejt

c.) P (-3; 9)

MEGOLDÁS

    \[f(x) = -3x \]

elrejt

d.) P (8; -5)

MEGOLDÁS

    \[f(x) = -\frac{5}{8}x \]

elrejt

e.) P (-1; -7)

MEGOLDÁS

    \[f(x) = 7x \]

elrejt

f.) P (2,5; -7,5)

MEGOLDÁS

    \[f(x) = -3x \]

elrejt

3.) Add meg a lineáris függvény egyenletét, mely átmegy a megadott P ponton és a meredeksége k:
a.) P (4; 6) k = 1

MEGOLDÁS

    \[f(x) = x + 2 \]

elrejt

b.) P (3; 1) k = 2

MEGOLDÁS

    \[f(x) = 2x - 5 \]

elrejt

c.) P (4; 4) k =  -\frac{3}{4}

MEGOLDÁS

    \[f(x) = -\frac{3}{4}x + 7 \]

elrejt

d.) P (-3; -5) k =  -\frac{5}{3}

MEGOLDÁS

    \[f(x) = -\frac{5}{3}x - 10 \]

elrejt

e.) P (4; -2) k = -3

MEGOLDÁS

    \[f(x) = -3x + 10 \]

elrejt

f.) P (6; 0) k =  \frac{1}{2}

MEGOLDÁS

    \[f(x) = \frac{1}{2}x - 3 \]

elrejt

4.) Add meg a lineáris függvény egyenletét, amely átmegy az A és B pontokon!
a.) A (4; 6), B (3; 5)

MEGOLDÁS

    \[k = \frac{6 - 5}{4 - 3} = \frac{1}{1} = 1 \Rightarrow f(x) = x + 2 \]

elrejt

b.) A (-2; 4), B (2; 2)

MEGOLDÁS

    \[k = \frac{2 - 4}{2 - (-2)} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} \Rightarrow f(x) = -\frac{1}{2}x + 3 \]

elrejt

c.) A (-3; 2), B (6; 8)

MEGOLDÁS

    \[k = \frac{8 - 2}{6 - (-3)} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \Rightarrow f(x) = \frac{2}{3}x + 4 \]

elrejt

d.) A (-1; -1,5), B (3; -7,5)

MEGOLDÁS

    \[k = \frac{-7,5 - (-1,5)}{3 - (-1)} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} \Rightarrow f(x) = -\frac{3}{2}x - 3 \]

elrejt

e.) A (1; 2), B (-1; -3)

MEGOLDÁS

    \[k = \frac{-3 - 2}{-1 - 1)} = \frac{-5}{-2} = \frac{5}{2} \Rightarrow f(x) = \frac{5}{2}x - 0,5 \]

elrejt

f.) A (3; 1,8), B (8; 2,3)

MEGOLDÁS

    \[k = \frac{2,3 - 1,8}{8 - 3} = \frac{0,5}{5} = \frac{1}{10} \Rightarrow f(x) = \frac{1}{10}x + 1,5 \]

elrejt

5.) Oldd meg a következő egyenletrendszereket grafikusan!
a.) I. 2x – y = 2
     II. -x + 3y = 9
 b.) I. 3x + y = -3
      II. 3x + 4y = 6

MEGOLDÁS

    \[L(3;4) x = 3, y = 4  \]

5a - lineáris függvények megoldás

elrejt

 

MEGOLDÁS

    \[L(-2; 3) x = -2, y = 3  \]

 5b - lineáris függvények megoldás

elrejt

c.) I. 2x + y = 6
     II. 4x + 3y = 12
d.) I. x – 4y = 8
     II. x + y = 3

MEGOLDÁS

    \[L(3; 0) x = 3, y = 0  \]

5c - lineáris függvények megoldás 

elrejt

MEGOLDÁS

    \[L(4; -1) x = 4, y = -1  \]

5d - lineáris függvények megoldás 

elrejt

6.) Egy mobiltelefon-társaság a következő tarifákat kínálja:
Értékkártya: 0,60 €/perc
Tarifa A: 0,20 €/perc, 10 € alapdíj
Tarifa B: 0,10 €/perc, 20 € alapdíj
a.) Add meg a számlát a lebeszélt idő függvényeként minden tarifánál!  

MEGOLDÁS

6. feladat - lineáris függvény ábrázolása 

elrejt

b.) Mennyi az egyes tarifáknál a számladíj, ha 1 órát beszélünk egy hónapban?

MEGOLDÁS

Értékkártya: w(x) = 0,6x
Tarifa A: a(x) = 0,2x + 10
Tarifa B: b(x) = 0,1x + 20

1 óra = 60 perc

w(x) = 0,6 * 60 = 36 €
a(x) = 0,2 * 60 + 10 = 22 €
b(x) = 0,1 * 60 + 20 = 26 €

elrejt

c.) Hányadik perctől lesz a tarifa A olcsóbb, mint az értékkártya?

MEGOLDÁS

0,6x > 0,2x + 10
0,4x > 10
x > 25
A 25. perctől lesz a tarifa A olcsóbb mint az értékkártya.

elrejt

d.) Hányadik perctől lesz a tarifa B olcsóbb, mint a tarifa A?

MEGOLDÁS

0,2x + 10 > 0,1x + 20
0,1x > 10
x > 100
A 100. perctől lesz a tarifa B olcsóbb mint a tarifa A.

elrejt

e.) Ábrázold a 3 függvényt egy koordináta rendszerben! 20 perc = 1 cm, 10 € = 1 cm
 
 
7. ) Egy taxiút 2,50 € alapdíjba és 0,96 €-ba kerül kilométerenként:
a.) Ábrázold az utazási költséget F(x) a megtett út x függvényében!

MEGOLDÁS

7. feladat - lineáris függvény ábrázolása

elrejt

b.) Mennyibe kerül egy 6 km-es út?

MEGOLDÁS

F(x) = 0,96x + 2,50
x = 6 km
0,96*6 + 2,5 = 8,26 €
Egy 6 km-es út 8,26 €-ba kerül.

elrejt

c.) Milyen messze jutunk 10 €-val?

MEGOLDÁS

0,96x + 2,5 = 10
0,96x = 7,5
x = 7,8125 km
10 €-val kb. 7,8125 km utat tehetünk meg.

elrejt

 

Feladatok a másodfokú függvényekhez

1.) Ábrázold a következő függvényeket értéktáblázat segítségével a megadott intervallumban és számold ki a zérushelyeket!
a.) f(x) = x2 – 2    [-2; 2]

MEGOLDÁS

    \[ \begin{bmatrix}{x}&{-2}&{-1}&{0}&{1}&{2}\\{f(x)}&{2}&{-1}&{-2}&{-1}&{2}\end{bmatrix} \]

Zérushely:

    \[x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}\]

 

elrejt

MEGOLDÁS FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS

Megoldások a másodfokú függvényekhez 

elrejt

b.) f(x) = x2 – 4x    [-1; 5] 

MEGOLDÁS

    \[ \begin{bmatrix}{x}&{-1}&{0}&{1}&{2}&{3}&{4}&{5}\\{f(x)}&{5}&{0}&{-3}&{-4}&{-3}&{0}&{5}\end{bmatrix} \]

 

elrejt

MEGOLDÁS FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS

 Megoldások a másodfokú függvényekhez B

elrejt

c.) f(x) = 2x2 – 2x – 4    [-2; 3] 

MEGOLDÁS

    \[ \begin{bmatrix}{x}&{-2}&{-1}&{0}&{1}&{2}&{3}\\{f(x)}&{8}&{0}&{-4}&{-4}&{0}&{8}\end{bmatrix} \]

 

elrejt

MEGOLDÁS FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS

Megoldások a másodfokú függvényekhez C 

elrejt

d.) 

    \[f(x) = \frac{x^2}{2} + 2x + 2  \]

 [-5; 1] 

MEGOLDÁS

    \[ \begin{bmatrix}{x}&{-5}&{-4}&{-3}&{-2}&{-1}&{0}&{1}\\{f(x)}&{4,5}&{2}&{0,5}&{0}&{0,5}&{2}&{4,5}\end{bmatrix} \]

 

elrejt

MEGOLDÁS FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS

 Megoldások a másodfokú függvényekhez D

elrejt

e.) f(x) = -x2 + x + 1    [-2; 3] 

MEGOLDÁS

    \[ \begin{bmatrix}{x}&{-2}&{-1}&{0}&{1}&{2}&{3}\{f(x)}&{-5}&{-1}&{1}&{1}&{-1}&{-5}\end{bmatrix} \]

 Zérushely:

    \[-x^2 + x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\pm\sqrt{5}\]

 

elrejt

MEGOLDÁS FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS

 

elrejt

f.) f(x) = -2x2 – 3x – 2    [-3; 1] 

MEGOLDÁS

    \[ \begin{bmatrix}{x}&{-3}&{-2}&{-1}&{0}&{1}\{f(x)}&{-11}&{-4}&{-1}&{-2}&{-7}\end{bmatrix} \]

 Zérushely:

    \[-2x^2 - 3x - 2 = 0 \Rightarrow nincs\]

 

elrejt

1.) Ábrázold a következő függvényeket értéktáblázat segítségével a megadott intervallumban és számold ki a zérushelyeket!
a.) f(x) = x2 – 2    [-2; 2]

MEGOLDÁS

    \[ \begin{bmatrix}{x}&{-2}&{-1}&{0}&{1}&{2}\\{f(x)}&{2}&{-1}&{-2}&{-1}&{2}\end{bmatrix} \]

Zérushely:

    \[x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}\]

 

elrejt

MEGOLDÁS FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS

Megoldások a másodfokú függvényekhez 

elrejt

b.) f(x) = x2 – 4x    [-1; 5] 

MEGOLDÁS

    \[ \begin{bmatrix}{x}&{-1}&{0}&{1}&{2}&{3}&{4}&{5}\\{f(x)}&{5}&{0}&{-3}&{-4}&{-3}&{0}&{5}\end{bmatrix} \]

 

elrejt

MEGOLDÁS FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS

 Megoldások a másodfokú függvényekhez B

elrejt

c.) f(x) = 2x2 – 2x – 4    [-2; 3] 

MEGOLDÁS

    \[ \begin{bmatrix}{x}&{-2}&{-1}&{0}&{1}&{2}&{3}\\{f(x)}&{8}&{0}&{-4}&{-4}&{0}&{8}\end{bmatrix} \]

 

elrejt

MEGOLDÁS FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS

Megoldások a másodfokú függvényekhez C 

elrejt

d.) 

    \[f(x) = \frac{x^2}{2} + 2x + 2  \]

 [-5; 1] 

MEGOLDÁS

    \[ \begin{bmatrix}{x}&{-5}&{-4}&{-3}&{-2}&{-1}&{0}&{1}\\{f(x)}&{4,5}&{2}&{0,5}&{0}&{0,5}&{2}&{4,5}\end{bmatrix} \]

 

elrejt

MEGOLDÁS FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS

 Megoldások a másodfokú függvényekhez D

elrejt

e.) f(x) = -x2 + x + 1    [-2; 3] 

MEGOLDÁS

    \[ \begin{bmatrix}{x}&{-2}&{-1}&{0}&{1}&{2}&{3}\\{f(x)}&{-5}&{-1}&{1}&{1}&{-1}&{-5}\end{bmatrix} \]

 Zérushely:

    \[-x^2 + x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\pm\sqrt{5}\]

 

elrejt

MEGOLDÁS FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS

 Megoldások a másodfokú függvényekhez E

elrejt

f.) f(x) = -2x2 – 3x – 2    [-3; 1] 

MEGOLDÁS

    \[ \begin{bmatrix}{x}&{-3}&{-2}&{-1}&{0}&{1}\\{f(x)}&{-11}&{-4}&{-1}&{-2}&{-7}\end{bmatrix} \]

 Zérushely:

    \[-2x^2 - 3x - 2 = 0 \Rightarrow nincs\]

 

elrejt

MEGOLDÁS FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS

 Megoldások a másodfokú függvényekhez F

elrejt

2.) Számold ki a következő parabolák tengelypontját és metszéspontjait az x tengellyel, majd ábrázold őket!
a.) y = x2 – 6x + 11 

MEGOLDÁS

y = x2 – 6x + 11 = (x – 3)2 – 9 + 11 = (x – 3)2 + 2 ⇒ T (3; 2)
(x – 3)2 + 2 = 0 ⇒ (x – 3)2 = -2 ⇒ nincs zérushely

Megoldások a másodfokú függvényekhez 2A

elrejt

b.) y = x2 – 2x – 3 

MEGOLDÁS

y = x2 – 2x – 3 = (x – 1)2 – 1 – 3 = (x – 3)2 – 4 ⇒ T (1; -4)
(x – 1)2 – 4 = 0 ⇒ (x – 1)2 = 4 ⇒ x1 = 3 és x2 = -1

Megoldások a másodfokú függvényekhez 2B

elrejt

c.) y = x2 + 4x + 3 

MEGOLDÁS

y = x2 + 4x + 3 = (x + 2)2 – 4 + 3 = (x + 2)2 – 1 ⇒ T (-2; -1)
(x + 2)2 – 1 = 0 ⇒ (x + 2)2 = 1 ⇒ x1 = -1 és x2 = -3

Megoldások a másodfokú függvényekhez 2C

elrejt

d.) y = x2 + 5x + 7 

MEGOLDÁS

y = x2 + 5x + 7 = (x + 2,5)2 – 6,25 + 7 = (x + 2,5)2 + 0,75 ⇒ T (-2,5; -7,5)
(x + 2,5)2 + 0,75 = 0 ⇒ (x + 2,5)2 = -0,75 ⇒ nincs zérushely

Megoldások a másodfokú függvényekhez 2D

elrejt

3.) Számold ki a másodfokú függvények egyenletét, melynek grafikonja átmegy a megadott pontokon! Ábrázold a függvényt és számítsd ki a zérushelyeket!

Példa:

A (0; 2)     B (1; 1)    C (3; 5)

f : y = ax2 + bx + c

A ∈ f : 2 = a . 02 + b . 0 + c
B ∈ f : 1 = a . 12 + b . 1 + c
C ∈ f : 5 = a . 32 + b . 3 + c
a = 1,  b = -2,  c = 2,  y = x2 – 2x + 2

a.) A (0; 6)  B (1; 3)  C (2; 2)

MEGOLDÁS

f : y = ax2 + bx + c

A ∈ f : 6 = a . 02 + b . 0 + c ⇒ c = 6
B ∈ f : 3 = a . 12 + b . 1 + c ⇒ 3 = a + b + 6 ⇒ -3 – b = a
C ∈ f : 2 = a . 22 + b . 2 + c ⇒ 2 = 4a + 2b + 6 ⇒ b = -4
a = 1,  b = -4,  c = 6,  y = x2 – 4x + 6
Zérushelyek: nincs

Megoldások a másodfokú függvényekhez 3A

elrejt

b.) A (0; 0)  B (2; 4)  C (3; 3)

MEGOLDÁS

f : y = ax2 + bx + c

A ∈ f : 0 = a . 02 + b . 0 + c ⇒ c = 0
B ∈ f : 4 = a . 22 + b . 2 + c ⇒ 4 = 4a + 2b ⇒ b = 2 – 2a
C ∈ f : 3 = a . 32 + b . 3 + c ⇒ 3 = 9a + 3b
            3 = 9a + 3 . (2 – 2a) = 9a + 6 – 6a ⇒ a = -1
a = 1,  b = 4,  c = 0,  y = -x2 + 4x
Zérushelyek: x1 = 0 és  x2 = 4

Megoldások a másodfokú függvényekhez 3B

elrejt

c.) A (-1; -4)  B (1; 2)  C (2; 11)

MEGOLDÁS

f : y = ax2 + bx + c

A ∈ f : -4 = a . -12 + b . -1 + c ⇒ -4 = a – b + c
            -4 = a – b + c ⇒ b = a + 4 + c
B ∈ f : 2 = a . 12 + b . 1 + c ⇒ 2 = 2a + 4 + 2c ⇒ -2 = 2a + 2c
            -2 = 2a + 2c ⇒ c = -1 – a
C ∈ f : 11 = a . 22 + b . 2 + c ⇒ 11 = 4a + 2b + c
            11 = 4a + 2b + c = 4a + 2 . (a + 4 c) + c ⇒ 11 = 6a + 8 + 3c
            11 = 6a + 8 + 3c = 6a + 8 + 3 . (-1 – a) ⇒ a = 2
            c = -1 – 2 = -3
a = 2,  b = 3,  c = -3,  y = 2x2 + 3x – 3

Zérushelyek:

    \[x_1 = \frac{-3 + \sqrt33}{4} \hspace{25pt}  x_2 = \frac{-3 + \sqrt33}{4} \]

 Megoldások a másodfokú függvényekhez 3C

elrejt

d.) A (1; 4,5)  B (2; 5)  C (4; 3)

MEGOLDÁS

f : y = ax2 + bx + c

A ∈ f : 4,5 = a . -12 + b . -1 + c ⇒ 4,5 = a + b + c ⇒ c = 4,5 – a – b
B ∈ f : 5 = a . 22 + b . 2 + c ⇒ 5 = 4a + 2b + c
            5 = 4a + 2b + (4,5 – a – b) ⇒ 0,5 = 3a + b
C ∈ f : 3 = a . 42 + b . 4 + c ⇒ 3 = 16a + 4b + c
            3 = 16a + 4b + (4,5 – a – b) ⇒ – 1,5 = 15a + 3b
            -1,5 = 15a + 3b ⇒ b = -0,5 – 5a
            0,5 = 3a + b = 3a + (-0,5 – 5a) ⇒ 

 

    \[a = -\frac{1}{2}\hspace{25pt}b = -0,5 - 5 * -\frac{1}{2} = 2\]

 

    \[a = -\frac{1}{2},\hspace{15pt}b = 2,\hspace{15pt}c = 3,\hspace{15pt}y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 3\]

Zérushelyek:  

    \[ x_1 = 2 + {\sqrt3} \hspace{25pt}  x_2 = 2 - {\sqrt3}\]

 

Megoldások a másodfokú függvényekhez 3D

elrejt

 

Previous Algebra feladatok
Next Van egy 10. bolygó?

No Comment

Leave a reply

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.