Fordított feladatok függvényvizsgálathoz


Fordított feladatok függvényvizsgálathoz - TUDOMÁNYPLÁZA

Ezeknél a feladatoknál a függvény egyenletét kell megkeresni néhány megadott pont alapján.

Írjuk először fel a függvények általános egyenletét! Például

Harmadfokú polinomfüggvény:

f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

Negyedfokú polinomfüggvény:

f(x) = ax4 + bx2 + c
(ez szimmetrikus az y tengelyre nézve!)

(A szimmetria miatt a páratlan kitevők elhagyhatóak.)

Ezekből képezzük az 1.) és, ha szükséges a 2.) deriváltat.

Most a megadott információkból annyi egyenletet kell képeznünk, ahány ismeretlenünk van.

  • A függvény átmegy egy ponton:
    P(x1; y1) ⇒ f(x1) = y1
    pl.: P(4; 6), azaz: f(4) = 6
  • A függvény meredeksége x1-nél k: f'(x1) = k
    pl.: A P(4; 6) pontban a meredekség 3, azaz f ‘(4) = 3
    más megfogalmazásban: A függvény érinti az y = kx + d egyenest, párhuzamos y = kx egyeneshez …
  • A függvénynek szélsőértéke van x1-nél: f'(x1) = 0
    pl.: H(1; 3), azaz f'(1) = 0
    más megfogalmazásban: a függvény érinti az x tengelyt, az érintő párhuzamos az x tengellyel.
    pl.: W(4; 6), azaz f”(4) = 0

Példa:

Egy harmadfokú polinomfüggvény meredeksége a P(1; 1) pontban 4, és a W(2; 3) egy inflexiós pontja.

Általános megoldási menet:

f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
f'(x) = 3ax2 + 2bx + c
f”(x) = 6ax + 2b

A függvény átmegy P(1; 1) ponton:
P(x1; y1) ⇒ f(x1) = a . x3 + b . x2 + c . x + d = y1

f(1) = 1 ⇒ a . 13 + b .  12 + c . 1 + d = 1

 a + b + c + d = 1 

A függvény meredeksége x = 1-nél 4:
P(x1; y1) ⇒ f'(x1) = 3a . x2 + 2b . x + c = y1

f'(1) = 4 ⇒ 3a . 12 + 2b .  1 + c = 4

 3a + 2b + c = 4 

A függvény átmegy W(2; 3) ponton:
P(x1; y1) ⇒ f(x) = a . x3 + b . x2 + c . x + d = y1

f(2) = 3 ⇒ a . 23 + b .  22 + c . 2 + d = 3

 8a + 4b + 2c + d = 3 

 

Az x = 2-nél egy inflexiós pont van:
P(x1; y1) ⇒ f”(x1) = 6a . x + 2b = 0

f”(2) = 0 ⇒ 6a . 2 + 2b = 0

 12a + 2b = 0 

 

Tehát a következő egyenletrendszert kell megoldanunk:

  1.       a + b + c + d = 1 
  2.       3a + 2b + c = 4  
  3.       8a + 4b + 2c + d = 3 
  4.       12a + 2b = 0 

 

4.   12a + 2b = 0   12a = -2b           /: (-2)
                                     
-6a = b

2.  3a + 2b + c = 4  3a + 2 . (-6a) + c = 4 
                                          3a – 12a + c = 4
                                          -9a + c = 4                    /+9a
                                          c = 4 + 9a

 

1.   a + b + c + d = 1   a + (-6a) + (4 + 9a) + d = 1
                                             4a + d = -3

3.  8a + 4b + 2c + d = 3 8a + 4 . (-6) + 2 . (4 + 9a) + d = 3
                                                  2a + d = -5

 

    \[\left. {4a + d = -3}\atop   {2a + d = -5} \right\} \implies d = -3 - 4a = -5 - 2a\]

                    -3 – 4a = -5 – 2a                      /+5
                    2 – 4a = -2a                             /+4a
                    2 = 2a                                      /:2
                    1 = a                                                

c = 4 + 9a -6a = b 4a + d = -3
c = 4 + 9 . 1 -6 . 1 = b 4 . 1 + d = -3
 c = 13   b = -6   7 = d 

 

A függvény egyenlete tehát:
f(x) = x3 + 6x2 + 13x – 7

 

 

 

Previous A függvény nevezetes pontjai
Next A 2. derivált jelentése

No Comment

Leave a reply

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.