Megoldási séma szélsőértékfeladathoz


Megoldási séma szélsőértékfeladathoz - TudományPláza

A gyakorlatban gyakran állunk szemben olyan feladattal, hogy egy mennyiséget (terület, felszín, térfogat, anyagfelhasználás, költség stb.) optimalizálnunk kell.

Ha a mennyiséget egy egyváltozós függvénnyel kifejezhetjük, akkor az 1. derivált segítségével kiszámíthatjuk a szélsőértéket. Ha több változó fordul elő, akkor ezeket először ki kell fejezni egy változó segítségével. 

Megoldási séma szélsőértékfeladathoz

  1. Ha lehetséges, rajzoljunk egy ábrát.
  2. Ismerjük fel a célfüggvényt! Mennyiség, maximálisnak, illetve minimálisnak kell-e lennie?
  3. Ha több ismeretlen szerepel, mellékszámítások végzése (képletek, Pythagoras, párhuzamos szelők tétele, egy görbe egyenlete stb.).
  4. Egy ismeretlent a mellékszámítások segítségével kifejezni, majd a célfüggvénybe helyettesíteni.
  5. Egyszerűsítsük a célfüggvényt!
    1. Konstans szorzótényezők elhagyhatóak!
    2. A célfüggvény négyzetre emelhető (pozitív függvényértékeket figyelembe venni).
    3. Szabad a célfüggvény helyett a reciprok értéket szemlélni. (Maximum lesz a minimum és fordítva.)
  6. Egyszerűsített célfüggvényt differenciálni.
  7. Az 1. derivált = 0 egyenletet megoldani.
  8. Ellenőrzés a 2. deriválttal.

 

Példa

1.) Egy fal mentén egy 50 m² téglalap alakú területet kell bekeríteni. Milyen hosszúak legyenek a téglalap oldalai annak érdekében, hogy a bekerítéshez a lehető legkevesebb anyagra legyen szükség?

 

Megoldási séma szélsőértékfeladathoz - téglalap példa

 

Megoldási séma szélsőértékfeladathoz

 

2.) Számítsuk ki, mekkorák az oldalai az r sugarú körbe írt, legnagyobb területtel rendelkező téglalapnak!

Megoldási séma szélsőértékfeladathoz

 

Megoldási séma szélsőértékfeladathoz 2

 

3.) Adjuk meg a legnagyobb térfogatú henger sugarát, illetve a magasságát, amelyet egy R sugarú kúpba írtunk!

3.) Adjuk meg a legnagyobb térfogatú henger sugarát illetve magasságát, amelyet egy R sugarú kúpba írtunk!

 

Adjuk meg a legnagyobb térfogatú henger sugarát illetve magasságát, amelyet egy R sugarú kúpba írtunk!

Previous Harangok és legendák
Next Egyéb területképletek háromszögekhez

No Comment

Leave a reply

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.