Mintafeladat a függvényvizsgálathoz


Mintafeladat a függvényvizsgálathoz 1

    \[f(x) = \frac{1}{4} * (x^3 - 3x^2 - 9x + 27)\]

Add meg a függvény tengelyekkel való metszéspontjait, a szélsőértékeket, az inflexiós pontokat, valamint az inflexiós pontba húzott érintő egyenletét!

 

Megoldás:

Képezzük először a deriváltakat!

    \[f'(x) = \frac{1}{4} * (3x^2 - 6x -9)\]

    \[f''(x) = \frac{1}{4} * (6x - 6)\]

    \[f'''(x) = \frac{1}{4} * 6 = \frac{3}{2}\]

 

a.) tengelyekkel való metszéspontok:

» Metszéspontok az x-tengellyel:

Zérushelyek:
f(x)=0

    \[f(x) = \frac{1}{4} * (x^3 - 3x^2 - 9x + 27) = 0 \hspace{15}\left[ \begin{array}{ccc}:\frac{1}{4}\end{array} \right]\]

    \[x^3 - 3x^2 - 9x + 27) = 0\]

 

Horner elrendezéssel kiszámoljuk a zérushelyeket:

Együtthatók
  x3 x2 x1 x0  
Próbaszámok 1 -3 -9 27 Zérushelyek
  Lehozzuk az egyet. -1 * 1 – 3 =  -1 * -4 – 9 =  -1 * -5 + 27 =   
-1 1 -4 -5 33  
  Lehozzuk az egyet. -2 * 1 – 3 =  -2 * -5 – 9 = -2 * 1 + 27 =   
-2 1 -5 1 25  
  Lehozzuk az egyet. -3 * 1 – 3 =  -3 * -6 – 9 = -3 * 9 + 27 =   
-3 1 -6 9 0 -3
  Lehozzuk az egyet. 0 * 1 – 3 =  0 * -3 – 9 = 0 * -9 + 27 =  
0 1 -3 -9 27  
  Lehozzuk az egyet. 1 * 1 – 3 =  1 * -2 – 9 = 1 * -11 + 27 =  
1 1 -2 -11 16  
  Lehozzuk az egyet. 2 * 1 – 3 =  2 * -1 – 9 = 2 * -11 + 27 =  
2 1 -1 -11 5  
  Lehozzuk az egyet. 3 * 1 – 3 =  3 * 0 – 9 = 3 * -9 + 27 =  
3 1 0 -9 0 3

 

 

Két zérushelyet találtunk:

N1 (-3; 0)         N(3; 0)

 

» Metszéspontok az y-tengellyel:

x = 0

 

Behelyettesítünk a függvénybe:

    \[y = f(0) = \frac{1}{4} * (0^3 - 3 * 0^2 - 9 * 0 + 27) = 6,75\]

Sy (0; 6,75)

 

b.) Szélsőértékek: f\'(x)=0

    \[\frac{1}{4} * (3x^2 - 6x -9) = 0\hspace{15}\left[ \begin{array}{ccc}:\frac{1}{4}\end{array} \right\]

    \[3x^2 - 6x - 9) = 0\]

A megoldóképlettel megoldjuk a másodfokú egyenletet:

a = 3

b = -6

c = -9

    \[x_{1;2} = \frac {-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

    \[x_{1;2} = \frac {6\pm\sqrt{-6^2 - 4 * 3 * -9}}{2 * 3} = \frac{6\pm\sqrt{36 + 108}}{6} =\]

    \[= \frac{6\pm\sqrt{144}}{6} = \frac{6\pm 12}{6} =\]

 

    \[= \hspace{5}\nearrow \hspace{15} \frac {6 + 12}{6} = \frac {18}{6} = 3\]

    \[= \hspace{5}\searrow\hspace{15} \frac {6 - 12}{6} = \frac {-6}{6} = -1\]

x1 = 3              x2 = -1

 

A hozzátartozó y értékeket megkapjuk, ha behelyettesítünk a függvénybe:

    \[y_1 = f(x_1) = \frac{1}{4} * (-1^3 - 3 * -1^2 - 9 * -1 + 27) = 8\]

    \[y_2 = f(x_2) = \frac{1}{4} * (3^2 - 3 * 3^2 - 9 * 3 + 27) = 0\]

E1 = (-1; 8)          E2 = (3; 0)

 

Ahhoz hogy megállapítsuk, minimumról vagy maximumról van-e szó, be kell helyettesítenünk az x-et a 2. deriváltba.

    \[f''(x_1) = \frac{1}{4} * (6 * -1 - 6) = -3 \hspace{5} < 0 \hspace{3}maximum\]

    \[f''(x_2) = \frac{1}{4} * (6 * 3 - 6) = 3 \hspace{5} > 0 \hspace{3}minimum\]

max (-1; 8)      min (3;0)

 

c.) Inflexiós pont: f”(x) = 0

    \[\frac{1}{4} * (6x - 6) = 0\]

    \[6x - 6 = 0\]

    \[6x = 6\]

    \[x = 1\]

 

Az y-értéket megkapjuk, ha az x-et az eredeti függvénybe helyettesítjük be:

    \[y = f(x) = \frac{1}{4} * (1^3 - 3 * 1^2 - 9 * 1 + 27) = 4\]

Mivel f”(x) ≠ 0, ténylegesen inflexiós pontról van szó. W (1; 4)

 

Az inflexiós pontba húzott érintő egyenlete:
A meredekséget megkapjuk, ha az x-et az 1. deriváltba behelyettesítjük.

    \[k = f'(1) = \frac{1}{4} * (3 * 1^2 - 6 * 1 - 9) = -3\]

Az egyenletet megadhatjuk például az

adott ponton átmenő, adott iránytangensű egyenes egyenletével.

y – y1 = k . (x – x1)

(hiszen az érintő átmegy az inflexiós ponton)

 

y – 4 = -3 . (x – 1)

y – 4 = -3x + 3

y = -3x + 7

 

Most már megrajzolhatjuk a függvény képét:

Mintafeladat a függvényvizsgálathoz

Previous Deriválási szabályok
Next Szimmetria-tulajdonságok

No Comment

Leave a reply

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.