Szélsőérték-számítási feladatok


szélsőérték-számítási feladatok
1.) Bontsuk a 10-et két szám összegére úgy, hogy a két szám négyzetösszege minimális legyen!

MEGOLDÁS

10 = x + y

Célfüggvény:                          f(x) = x2 + y2 → minimális legyen

Mellékszámítások:             y = 10 – x

Behelyettesítés:                   f(x) = x2 + (10 – x)2 = 2x2 – 20x + 100    

Deriválás:                               f'(x) = 4x – 20

                                                     f”(x) = 4

Minimum kiszámítása:    4x – 20 = 0    ⇒    x = 5      y = 5

elrejt

2.) Mekkorák az oldalai az 1 m kerületű (U), legnagyobb területű téglalapnak?

MEGOLDÁS

 U = 1m = 2a + 2b

Célfüggvény:                          A(x) = a * b → maximális legyen

Mellékszámítások:             1 = 2(a + b)

    \[b = \frac{1}{2} - a\]

Behelyettesítés:                  

    \[A(a) = a * (\frac{1}{2} - a) = \frac{1}{2}a - a^2\]

Deriválás:                            

    \[A'(a) = \frac{1}{2} - 2a\]

                                                   

    \[A''(a) = -2\]

Minimum kiszámítása:  

    \[ \frac{1}{2} - 2a = 0   \hspace{20}\Rightarrow a = \frac{1}{4}\hspace{20} (25 cm) \hspace{20} b = \frac{1}{4}\]

Négyzet

elrejt

3.) Írjunk be egy legnagyobb területű téglalapot egy olyan háromszögbe, melynek c oldala 12 cm, magassága (h) 8 cm. A téglalap egyik oldala legyen a háromszög c oldalán.

MEGOLDÁS

 

    \[ a = \frac{c}{2}   \hspace{20}(6 cm)\hspace{20}  b = \frac{h}{2} \hspace{20} (4 cm)\]

 

elrejt

 
4.) Készítsünk egy V=1 dm³térfogatú négyzetes oszlop alakú kartont a legminimálisabb felszínnel!

MEGOLDÁS

 

Szélsőértékszámítási feladatok 4.

V = 1 dm3 = 1000 cm3 = a2 * b

Célfüggvény:                          V (a; b) = 2a2 + 4ab → minimális legyen

Mellékszámítások:             a2 * b = 1000

    \[b = \frac{1000}{a^2}\]

Behelyettesítés:                  

    \[V(a) = 2a^2 + 4a \frac{1000}{a^2} = 2a^2 + 4000 * a^{-1}\]

Deriválás:                             V'(a) = 4a – 4000 * a-2

                                                   V”(a) = 4a + 8000 * a-3 

Minimum kiszámítása:   4a – 4000 * a-2 = 0              ⇒ a = 10       b = 10

Kocka

elrejt

5.) Hogyan válasszuk meg a V=250p cm³térfogatú henger sugarát és magasságát, hogy a legminimálisabb felszínt kapjuk?

MEGOLDÁS

 

Szélsőértékszámítási feladatok 5.

V = 250 * π cm3 = R2 * π * H

R2 * H = 250

Célfüggvény:                         A (R; H) = 2R2 * π + 2RπH → minimális legyen

                                                    A (R; H) = 2R2 + 2RH

Mellékszámítások:            

    \[H = \frac{250}{R^2}\]

Behelyettesítés:                  

    \[A(R) = 2R^2 + 2R * \frac{250}{R^2} = 2R^2 + \frac{500}{R}\]

Deriválás:                             A'(R) = 4R – 500 * R-2

                                                   A”(R) = 4 + 1000 * R-3 

Minimum kiszámítása:   4R – 500 * R-2 = 0              ⇒ R = 5       H = 10

elrejt

6.) Az 5. feladat csak a henger legyen felül nyitott.

MEGOLDÁS

 

V = 250 * π cm3 = R2 * π * H

R2 * H = 250

Célfüggvény:                         A (R; H) = R2 * π + 2RπH → minimális legyen

                                                    A (R; H) = R2 + 2RH

Mellékszámítások:            

    \[H = \frac{250}{R^2}\]

Behelyettesítés:                  

    \[A(R) = 2R^2 + 2R * \frac{250}{R^2} = 2R^2 + \frac{500}{R}\]

Deriválás:                             A'(R) = 2R – 500 * R-2

                                                   A”(R) = 2 + 1000 * R-3 

Minimum kiszámítása:   2R – 500 * R-2 = 0              ⇒   

    \[R = 5 * \sqrt[3]{20}\]

      H = 1,35

elrejt

7.) Egy R=12 cm sugarú gömbbe írjunk:

a.) egy hengert a legnagyobb palástfelülettel

MEGOLDÁS

 

 

Szélsőértékszámítási feladatok 7a

R = 12 cm

Célfüggvény:                        V (r; H) = 2rπH → maximális legyen

                                                    V (r; H) = 2rH

Mellékszámítások:            

    \[H = \sqrt{576 - 4r^2}\]

Behelyettesítés:                  

    \[V(r) = 2r * \sqrt{576 - 4r^2} \]

Egyszerűsítés:                  V(r) = 4r2 * (576 – 4r2) = 4r2 * 576 – 16r4

Deriválás:                             V'(r) = 8 * 576r – 16 * 4r3

                                                   V”(r) = 8 * 576 – 192r2 

Minimum kiszámítása:   8 * 576r – 16 * 4r3 = 0              ⇒   r = 8,5     H = 16,92

elrejt

7.) Egy R=12 cm sugarú gömbbe írjunk:

b.) egy kúpot a legnagyobb térfogattal.

MEGOLDÁS

 

Szélsőértékszámítási feladatok 7b

R = 12 cm

Célfüggvény:                       

    \[ V (r; H) = \frac{r^2 \pi H}{3}\]

→ maximális legyen

                                                    V (r; H) = r2H

Mellékszámítások:            x2 + r2 = R2

                                                    H = R + x ⇒ x = H – R

    \[(H - R)^2 + r^2 = R^2 \Rightarrow r = \sqrt{2HR - H^2}\]

Behelyettesítés:                  

    \[V(r; H) = ( \sqrt{2HR - H^2})^2 *H \]

Egyszerűsítés:                  V(r; H) = (2HR – H2) * H = 24H2 – H3

Deriválás:                             V'(r; H) = 48H * 3H2

                                                   V”(r; H) = 48 – 6H 

Minimum kiszámítása:   48H – 3H2 = 0              ⇒   r = 11,31     H = 16

elrejt

8.) Írjuk egy R=12 cm sugarú félgömbbe a legnagyobb térfogatú kúpot, melynek csúcsa a a félgömb középpontjában van.

MEGOLDÁS

 

Szélsőértékszámítási feladatok 8

R = 12 cm

Célfüggvény:                       

    \[ V (r; H) = \frac{r^2 \pi H}{3}\]

→ maximális legyen

                                                    V (r; H) = r2H

Mellékszámítások:            H2 + r2 = R2

                                                   

    \[H = \sqrt{144 - r^2}\]

Behelyettesítés:                  

    \[V(r; H) =  r^2 \sqrt{144 - r^2} \]

Egyszerűsítés:                 

    \[V(r; H) = ( r^4 * (144 - r^2) = 144r^4 - r^6 \]

Deriválás:                             V'(r; H) = 576r3 – 6r5

                                                   V”(r; H) = 1728r2 – 30r4 

Minimum kiszámítása:   576r3 – 6r5 = 0              ⇒   r = 9,89     H = 6,84

elrejt

9.) Egy téglalap alakú lemezből, melynek oldalai l=40 cm és b=25 cm kell készítenünk egy téglatestet úgy, hogy a lemez sarkaiból egy négyzet alakú kis részt levágunk, és az így visszamaradt téglalapokat felhajtjuk. Mekkora legyen a négyzet oldala, hogy a legnagyobb térfogatú téglatestet kapjuk?

MEGOLDÁS

 

Szélsőértékszámítási feladatok 9

Célfüggvény:                          V(x) = G * H → maximális legyen

V(x) = (40 – 2x) * (25 – 2x) * x

V(x) = 4x3 – 130x2 + 1000x

 

Deriválás:                             V'(x) = 12x2 – 260x + 1000

                                                    V”(x) = -24x – 260

Minimum kiszámítása:   12x2 – 260x + 1000 = 0 

    \[ \Rightarrow  r_1 = 5 \hspace{20} r_2 = \frac{100}{6}\]

elrejt

10.) Egy henger alakú üveg alján félgömböt helyeztünk el. A térfogata 45p dm³. Mekkora legyen a henger sugara és a magassága, hogy az üveg a legkevesebb felülettel rendelkezzen?

MEGOLDÁS

 

Szélsőértékszámítási feladatok 10

V = 45π dm3

Célfüggvény:                         O (R; H) = R2 + 2RH + 4R→ minimális legyen

Mellékszámítások:            

    \[V = R^2\pi H + \frac{4R^3 \pi}{3 *2} \Rightarrow R^2H + \frac{4R^3}{6} = 45\]

    \[ \Rightarrow H = \frac{270 - 4R^3}{6 R^2}\]

Behelyettesítés:                  

    \[V = R^2 + 2R \frac{270 - 4R^3}{6R^2} + 4R^2 = 5R^2 + 90 R^{-1} - \frac {4}{3}R^2\]

Deriválás:                            

    \[V' = 10R - 90R^{-2} - \frac{8}{3}R\]

                                                 

    \[V'' = 10 - \frac{8}{3} + 180R^{-3}\]

Minimum kiszámítása:  

    \[10R - 90R^{-2} - \frac{8}{3}R = 0     \hspace{20}\Rightarrow    R = 2,3 \hspace{10}H = 6,9\]

      

elrejt

Previous Harangok és legendák
Next Megoldási séma szélsőértékfeladathoz

No Comment

Leave a reply

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.