Feladatok

Egyenletek – feladatok és megoldások

267.3k Views
egyenlet feladatok és megoldások
Olvasási idő: 18 perc

Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán!

1. feladatcsoport

a.) 3x + 5 = 23

MEGOLDÁS

3x + 5 – 5 = 23 – 5
3x = 18   (ezt osztom 3-mal, hogy megkapjam az x-et)
x = 6

elrejt
b.) 8x – 12 = 28

MEGOLDÁS

8x – 12 + 12 = 28 + 12
8x = 40 (ezt osztom nyolccal, hogy megkapjam az x-et)
x = 5

elrejt
c.) 10y + 23 = 3

MEGOLDÁS

10y + 23 – 23 = 3 – 23
10y = -20  (ezt osztom 10-zel, hogy megkapjam az y-t)
y = -2

elrejt
d.) 11 – 5z = 26

MEGOLDÁS

11 – 5z – 11 = 26 – 11
-5z = 15 (ezt osztom mínusz 5-tel, hogy megkapjam a z-t)
z = -3

elrejt
e.) 4z – 9 = –2

MEGOLDÁS

4z – 9 + 9 = -2 + 9
4z = 7 (ezt osztom 4-gyel, hogy megkapjam a z-t)

    \[z = 1,75 = \frac{7}{4} \]

elrejt
f.) 12y + 15 = 19

MEGOLDÁS

12y + 15 – 15 = 19 – 15
12y = 4 (ezt osztom 12-vel, hogy megkapjam az y-t)

    \[y = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]

elrejt
g.) 7x + 3 = 5x + 12

MEGOLDÁS

7x + 3 – 3 = 5x + 12 – 3
7x = 5x + 9
7x – 5x = 5x + 9 – 5x
2x = 9 (ezt osztom 2-vel, hogy megkapjam az x-et)

    \[x = 4,5 = \frac{9}{2} \]

elrejt
h.) 6z + 8 = 11z – 7

MEGOLDÁS


6z + 8 – 8 = 11z – 7 – 8
6z = 11z – 15
6z – 11z = 11z – 15 – 11z
-5z = -15 (ezt osztom mínusz 5-tel, hogy megkapjam a z-t)
z = 3

elrejt
i.) 9y + 4 = 3y – 10

MEGOLDÁS

9y + 4 = 3y – 10
9y = 3y – 14
9y – 3y = 3y – 14 – 3y
6y = -14 (ezt osztom 6-tal, hogy megkapjam az y-t)

    \[y = -\frac{7}{3} \]

    \[y = -2 \frac{1}{3} \]

elrejt
j.) 100 – 7x = 13x

MEGOLDÁS


100 – 7x – 100 = 13x – 100
-7x = 13x – 100
-7x – 13x = 13x – 100 – 13x
-20x = -100 (ezt osztom mínusz 20-szal, hogy megkapjam az x-et)
x = 5

elrejt
k.) k-egyenlet feladat

MEGOLDÁS

első lépésként szorzom 3-mal
2x + 6 = 30
2x + 6 – 6 = 30 – 6
2x = 24

x = 12

elrejt
l.) l-egyenlet

MEGOLDÁS


első lépésként beszorzom 6-tal
3x + 2x = 150
5x = 150 (ezt osztom 5-tel, hogy megkapjam az x-et)
x = 30

elrejt
m.) m-egyenlet

MEGOLDÁS


első lépésként mindent beszorzok 12-vel
3y + 4y + 180 = 12y
7y + 180 = 12y
7y – 12y = 12y – 180 – 12y
-5y = -180 (ezt osztom mínusz 5-tel, hogy megkapjam az y-t)
y = 36

elrejt
n.)

    \[\frac{z}{3} - \frac{z}{5} = 1 \]

MEGOLDÁS


első lépésben mindent beszorzok 15-tel
5z – 3z = 15
2z = 15 (ezt osztom 2-vel, hogy megkapjam a z-t)
z = 7,5

elrejt

 

2. feladatcsoport

a.) 3 . (x + 7) = 4 . (2x – 1)

MEGOLDÁS

x = 5

elrejt
b.) 4 . (5x – 3) + 6 = 10

MEGOLDÁS

    \[x = \frac{4}{5} \]

elrejt
c.) 8 . (y +10) – 30 = 5y

MEGOLDÁS

    \[y = -\frac{50}{3} \]

elrejt
d.) 9 . (y – 5) = 4y – 10

MEGOLDÁS

y = 7

elrejt
e.) 3 . (6w + 4) = 9 . (2w – 3)

MEGOLDÁS

12 ≠ -27 ellentmondás

elrejt
f.) 8 . (3 + 2z) – 3z = 5z – 8

MEGOLDÁS

z = -4

elrejt
g.) 6 . (2z + 7) = 5 . (9 – 3z)

MEGOLDÁS

    \[z = \frac{1}{9} \]

elrejt
h.) 5 . (y – 0,2) = 1,6 . (3y + 0,5)

MEGOLDÁS

y = 9

elrejt
i.) 12 . (z – 3) = 2 . (8z + 4) – 16

MEGOLDÁS

z = -7

elrejt
j.) 5 . (3y + 4) = -4 . (6 – 4y)

MEGOLDÁS

y = 44

elrejt
k.) 2l-egyenlet

MEGOLDÁS

x = 4

elrejt
l.) 2m-egyenlet

MEGOLDÁS

    \[x = \frac{11}{4} \]

elrejt
m.) 2n-egyenlet

MEGOLDÁS

x = -3

elrejt

 

3. feladatcsoport

a.) 2x . (x – 3) = x . (2x + 4) – 80

MEGOLDÁS


2x2 – 6x = 2x2 + 4x – 80
2x2 – 6x – (2x2 + 4x) = 2x2 + 4x – 80 – (2x2 + 4x)
-10x = -80 (ezt osztom mínusz 10-zel, hogy megkapjam az x-et)
x = 8

elrejt
b.) x . (x + 3) = x2 + 4 . (x – 3)

MEGOLDÁS

x2 + 3x = x2 + 4x – 12
x2 + 3x – (x2 + 4x) = x2 + 4x – 12 – (x2 + 4x)
-x = -12
x = 12

elrejt
c.) (z – 2) . (z + 3) = z2 + 6

MEGOLDÁS


z2 + z – 6 = z2 + 6
z2 + z – 6 + 6 = z2 + 6 + 6
z2 + z = z2 + 12
z2 + z – z2 = z2 + 12 – z2
z = 12

elrejt
d.) (y + 3) . (y – 5) = y . (y + 11)

MEGOLDÁS

y2 – 2y – 15 = y2 + 11y
y2 – 2y – 15 + 15 = y2 + 11y + 15
y2 – 2y = y2 + 11y + 15
y2 – 2y – (y2 + 11y) = y2 + 11y + 15 – (y2 + 11y)
-13y = 15

    \[y = -\frac{15}{13} \]

elrejt
e.) (x – 1) . (x + 1) = (x + 3) . (x – 2)

MEGOLDÁS


x2 – 1 = x2 + x – 6
x2 – 1 + 1 = x2 + x – 6 + 1
x2 = x2 + x – 5
x2 – (x2 + x) = x2 + x – 5 – (x2 + x)
-x = -5
x = 5 

elrejt
f.) (z + 5) . (z – 3) = (z – 4) . (z + 6) + 9

MEGOLDÁS


z2 + 2z – 15 = z2 + 2z – 15
z2 + 2z – 15 + 15 = z2 + 2z – 15 + 15
z2 + 2z = z2 + 2z
z2 + 2z – (z2 + 2z) = z2 + 2z – (z2 + 2z)
0 = 0 (minden z-re igaz)

elrejt
g.) (y + 3) . (y – 8) = y . (y – 5) + 2 . (y + 6)

MEGOLDÁS


y2 – 5y – 24 = y2 – 5y + 2 (y + 6)
y2 – 5y – 24 = y2 – 5y + 2y + 12
y2 – 5y – 24 = y2 – 3y + 12
y2 – 5y – 24 + 24 = y2 – 3y + 12 + 24
y2 – 5y = y2 – 3y + 36
y2 – 5y – (y2 – 3y) = y2 – 3y + 36 – (y2 – 3y)
-2y = 36
y = -18

elrejt
h.) (y + 2) . (y – 8) = (y – 2)2 – 12

MEGOLDÁS


y2 – 6y – 16 = y2 – 4y – 8
y2 – 6y – 16 + 16 = y2 – 4y – 8 + 16
y2 – 6y = y2 – 4y + 8
y2 – 6y – (y2 – 4y) = y2 – 4y + 8 – (y2 – 4y)
-2y = 8
y = -4

elrejt
i.) (2z + 5) . (z – 3) = (z – 6) . (2z – 2) – 1

MEGOLDÁS

2z2 – z – 15 = 2z2 – 14z + 11
2z2 – z – 15 + 15 = 2z2 – 14z + 11 + 15
2z2 – z = 2z2 – 14z + 26
2z2 – z – (2z2 – 14z) = 2z2 – 14z + 26 – (2z2 – 14z)
13z = 26

z = 2

elrejt
j.) (3y – 2) . (2y + 3) = (6y – 7) . (y + 2)

MEGOLDÁS

-6 ≠ -14 ellentmondás nincs megoldás

elrejt
k.) (x – 1)2 = (x – 3) . (x + 2)

MEGOLDÁS


x2 – 2x + 1 = x2 – x – 6
x2 – 2x + 1 – 1 = x2 – x – 6 – 1
x2 – 2x = x2 – x – 7
x2 – 2x – (x2 – x) = x2 – x – 7 – (x2 – x)
-x = -7
x = 7

elrejt
l.) (x + 5)2 = (x – 3)2 + 8x

MEGOLDÁS

x2 + 10x + 25 = x2 + 2x + 9
x2 + 10x + 25 – 25 = x2 + 2x + 9 – 25
x2 + 10x = x2 + 2x – 16
x2 + 10x – (x2 + 2x) = x2 + 2x – 16 – (x2 + 2x)

8x = -16
x = -2

elrejt
m.) (x – 2) . (x + 2) = (x + 6)2

MEGOLDÁS

x2 – 4 = x2 + 2x . 6 + 62
x2 – 4 = x2 + 12x + 36
x2 – 4 + 4 = x2 + 12x + 36 + 4
x2 = x2 + 12x + 40
x2 – (x2 + 12x) = x2 + 12x + 40 – (x2 + 12x)
-12x = 40

    \[x = -\frac{10}{3} \]

elrejt
n.) (3z – 1)2 = (3z + 4) . (3z – 5)

MEGOLDÁS

(3z)2 – 2 . 3z . 1 + 12 = 3z . 3z + 3z (-5 ) + 4 . 3z + 4 (-5)
9z2 – 6z + 1 = 9z2 – 3z – 20
9z2 – 6z + 1 – 1 = 9z2 – 3z – 20 -1
9z2 – 6z = 9z2 – 3z – 21
9z2 – 6z – (9z2 – 3z) = 9z2 – 3z – 21 – (9z2 – 3z)
-3z = -21
z = 7

elrejt

 

Fejezd ki a kérdezett ismeretlent a megadott képletekből!

a.) U = 4a          a = ?

MEGOLDÁS

    \[a = \frac{U}{4} \]

elrejt

 
b.) α + β + γ = 180°       γ = ?

MEGOLDÁS

γ = 180° – (α + β)

elrejt
c.) 

    \[A = \frac{a * b}{2} \]

 b = ?

MEGOLDÁS

    \[b = \frac{2A}{a} \]

elrejt

 
d.) 

    \[b = \frac{r * \Pi * \alpha }{180 fok } \]

α = ?

  

MEGOLDÁS

    \[\alpha = \frac{b * 180 fok}{r * \Pi} \]

elrejt

 
e.) 

    \[s = \frac{a + b + c}{2} \]

 a = ?

MEGOLDÁS

a = 2s – (b + c) 

elrejt
f.) 

    \[A = \frac{(a + c) * h}{2} \]

 h = ?    c = ?

MEGOLDÁS

    \[h = \frac{2A}{a+ c} ; c = \frac{2A}{h} - a \]

elrejt

 
g.) 

    \[h = \frac{a * \sqrt{3}}{2} \]

 a = ?

MEGOLDÁS

    \[a = \frac{2h}{\sqrt{3}} \]

elrejt

 
h.) V = a . b . c        c = ?

MEGOLDÁS

    \[c = \frac{V}{a * b} \]

elrejt

 
i.) 

    \[V = \frac{a^2 * h}{3} \]

 h = ?

MEGOLDÁS

    \[h = \frac{3V}{a^2} \]

elrejt

 
j.) O = r2 . π + r . π . s           s = ?

MEGOLDÁS

    \[s = \frac{O - r^2 * \Pi }{r * \Pi} \]

elrejt

 
k.)

    \[s = \frac{a * t^2}{2} \]

 a = ?

MEGOLDÁS

    \[a = \frac{2s}{t^2} \]

elrejt

 
l.) 

    \[ \frac{x}{a} = \frac{y}{b} \]

 y = ?   b = ?

MEGOLDÁS

    \[y = \frac{bx}{a} ; b = \frac{ya}{x} \]

elrejt

 
m.) 

    \[ \frac{x - a}{x - b} = c \]

 x = ?

MEGOLDÁS

    \[x = \frac{a - cb}{1 - c} \]

elrejt

 
n.) O = 2ab + 2ac + 2bc        b = ?

MEGOLDÁS

    \[b = \frac{O - 2ab - 2ac}{2c} \]

elrejt

 
o.) 

    \[ O = \frac{h^2 * \Pi}{3} * (3r -h) \]

 r = ?

MEGOLDÁS

    \[r = \frac{O}{h^2 * \Pi} + \frac{h}{3} \]

elrejt

 
p.) 

    \[ \frac{1}{b} + \frac{1}{g} = \frac{1}{f} \]

 b = ?

MEGOLDÁS

    \[b = \frac{gf}{g - f} \]

elrejt

 

 

Szöveges feladatok

  1. Ha egy szám harmadából kivonjuk a negyedét, akkor eredményül 7-et kapunk. Melyik ez a szám?

    MEGOLDÁS

        \[x = keresett sz\'{a}m \]

        \[\frac{x}{3} - \frac{x}{4} = 7 \Rightarrow x = 84 \]

    elrejt

     

    ELLENŐRZÉS

        \[\begin{pmatrix} \frac{84}{3} = 28 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{84}{4} = 21 \end{pmatrix} \Rightarrow 28 - 21 = 7 \]

    elrejt

  2. Ha egy számhoz hozzáadjuk a harmadát és negyedét, akkor 190-et kapunk. Melyik ez a szám?

    MEGOLDÁS

        \[x = keresett sz\'{a}m \]

        \[ x + \frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 190 \Rightarrow x = 120 \]

    elrejt

     

    ELLENŐRZÉS

     

        \[120 +\begin{pmatrix} \frac{120}{3} = 40 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{120}{4} = 30 \end{pmatrix} \Rightarrow 120 + 40 + 30 = 190 \]

    elrejt

  3. Egy szám felének, harmadának és negyedének összege hárommal nagyobb, mint maga a szám. Melyik ez a szám?

    MEGOLDÁS

        \[x = keresett sz\'{a}m \]

        \[ \frac{x}{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{4} = x +3 \Rightarrow x = 36 \]

    elrejt

     

    ELLENŐRZÉS

     

        \[\begin{pmatrix} \frac{36}{2} = 18 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{36}{3} = 12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{36}{4} = 9 \end{pmatrix}\Rightarrow (18 + 12 + 9 = 39) = (36 + 3 =39) \]

    elrejt

 

Feladatok másodfokú egyenletekre

Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán!

a.) 5x2 – 80 = 0

MEGOLDÁS

x = + 4

elrejt
b.) 3x2 + 75 = 0

MEGOLDÁS

x2 = -25 (nincs megoldás) 

elrejt
c.) 4x2 – 9 = 0

MEGOLDÁS

    \[x = \pm \frac{3}{2} \]

elrejt
d.) 50x2 – 2 = 0

MEGOLDÁS

    \[x^2 = \frac{1}{25}\]

    \[x = +\frac{1}{5}\]

 

    \[x = -\frac{1}{5}\]

elrejt
e.) x2 – 9x = 0

MEGOLDÁS

x * (x – 9) = 0 ⇒ x = 0 és x = 9

elrejt
f.) 5x2 + 50x = 0

MEGOLDÁS

5x * (x + 10) = 0 ⇒ x = 0 és x = -10

elrejt
g.) 12x2 + 3x = 0

MEGOLDÁS

3x * (4x + 1) = 0 ⇒ x = 0 és

    \[x = -\frac{1}{4} \]

elrejt
h.) 15x2 – 10x = 0

MEGOLDÁS

5x * (3x – 2) = 0 ⇒ x = 0 és

    \[x = \frac{2}{3} \]

elrejt
i.) x2 – 3x – 10 = 0

MEGOLDÁS

    \[\frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 * 1 * (-10)}} {2 * 1} \]

    \[\Rightarrow x_1 = 5 \]

    \[\Rightarrow x_2 = -2 \]

elrejt

 
j.) x2 – 14x + 49 = 0

MEGOLDÁS

    \[\frac{14 \pm \sqrt{(-14)^2 - 4 * 1 * 49}} {2 * 1} \]

    \[\Rightarrow x = 7 \]

elrejt

 
k.) x2 – 8x + 25 = 0

MEGOLDÁS

    \[\frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 * 1 * 25}} {2 * 1} \]

⇒ gyök alatt negatív szám nincs megoldás

elrejt

 
l.) x2 + 10x + 24 = 0

MEGOLDÁS

    \[\frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 * 1 * 24}} {2 * 1} \]

⇒ x1 = -4 és x2 = -6

elrejt

 
m.) x2 – 22x + 121 = 0

MEGOLDÁS

    \[\frac{22 \pm \sqrt{(-22)^2 - 4 * 1 * 121}} {2 * 1} \]

⇒ x = 11

elrejt
n.) x2 + 2x + 8 = 0

MEGOLDÁS

    \[\frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 * 1 * 8}} {2 * 1} \]

⇒ gyök alatt negatív szám nincs megoldás

elrejt
o.) x2 + 6x + 8 = 0

MEGOLDÁS

    \[\frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 * 1 * 8}} {2 * 1} \]

⇒ x1 = -2 és x2 = -4

elrejt
p.) x2 + 3x – 70 = 0

MEGOLDÁS

    \[\frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 * 1 * (-70)}} {2 * 1} \]

⇒ x1 = 7 és x2 = -10

elrejt
q.) x2 – 7x + 10 = 0

MEGOLDÁS

    \[\frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 * 1 * (-10)}} {2 * 1} \]

x1 =

    \[\frac{7 + \sqrt{89}} {2} \]

x2 =

    \[\frac{7 - \sqrt{89}} {2} \]

 

elrejt
r.) x2 + 6x + 5 = 0

MEGOLDÁS

    \[\frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 * 1 * 5}} {2 * 1} \]

⇒ x1 = -1 és x2 = -5

elrejt
s.) x2 – x – 20 = 0

MEGOLDÁS

    \[\frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 * 1 * (-20)}} {2 * 1} \]

⇒ x1 = 5 és x2 = -4

elrejt
t.) x2 – 8x + 15 = 0

MEGOLDÁS

    \[\frac{8 \pm \sqrt{8^2 - 4 * 1 * 15}} {2 * 1} \]

⇒ x1 = 5 és x2 = 3

elrejt

 

Add meg a következő gyökök másodfokú egyenletét, gyöktényezős alakban!

a.) {3 ; 7}

MEGOLDÁS

(x – 3) . (x – 7) = x2 – 10x + 21 

elrejt
b.) {-2 ; 10}

MEGOLDÁS

(x + 2) . (x – 10) = x2 – 8x – 20

elrejt

c.) 

    \[\begin{pmatrix} \frac{2} {3} ; 3 \end{pmatrix}\]

MEGOLDÁS

    \[(x - \frac{2} {3}) * (x - 3) = x^2 - \frac{11} {3}x + 2\]

 

 

elrejt
d.) 

    \[\begin{pmatrix} \frac{1} {4} ; 4 \end{pmatrix}\]

MEGOLDÁS

    \[(x - \frac{1} {4}) * (x - 4) = x^2 - \frac{5} {4}x + 1\]

 

 

elrejt
e.) 

    \[\begin{pmatrix} \frac{3} {4} ; \frac{4} {3} \end{pmatrix}\]

MEGOLDÁS

    \[(x - \frac{3} {4}) * (x - \frac{4} {3}) = x^2 - \frac{25} {12}x + 1\]

 

 

elrejt
f.) 

    \[\begin{pmatrix} -\frac{5} {6} ; \frac{2} {5} \end{pmatrix}\]

MEGOLDÁS

    \[(x + \frac{5} {6}) * (x - \frac{2} {5}) = x^2 - \frac{13} {30}x - \frac{1} {3}\]

 

 

elrejt

 

Írd fel a következő polinomokat egész számokkal szorzatalakba!

a.) x2 – 6x + 8

MEGOLDÁS

(x – …) . (x – …) ⇒ (x – 2) . (x – 4) 

elrejt
b.) x2 + 8x + 15

MEGOLDÁS

(x + …) . (x + …) ⇒ (x + 3) . (x + 5) 

elrejt
c.) x2 + 2x – 120

MEGOLDÁS

(x + …) . (x – …) ⇒ (x + 12) . (x – 10) 

elrejt
d.) x2 – x – 30

MEGOLDÁS

(x + …) . (x – …) ⇒ (x + 5) . (x – 6) 

elrejt
e.) 2x2 + x – 15

MEGOLDÁS

2 . (-15) = -30 = (-5) . 6 ⇒ 2x2  + 6x – 5x + 15 = 2x . (x + 3) – 5 . (x + 3) = (2x – 5) . (x + 3) 

elrejt
f.) 3x2 – 10x + 8

MEGOLDÁS

3 . 8 = 24 = (-4) . (-6) ⇒ 3x2  – 6x – 4x + 8 = 3x . (x – 2) + 4 . (x – 2) = (3x – 4) . (x – 2) 

elrejt
g.) 6x2 + 5x + 1

MEGOLDÁS

6 . 1 = 6 = 2 . 3 ⇒ 6x2 + 3x + 2x + 1 = 3x . (2x + 1) + (2x + 1) = (3x + 1) . (2x + 1) 

elrejt
h.) 9x2 – 18x + 8

MEGOLDÁS

9 . 8 = 72 = (-6) . (-12) ⇒ 9x2 – 6x – 12x + 8 = 3x . (3x – 2) – 4 . (3x – 2) = (3x – 4) . (3x – 2) 

elrejt

 

Szöveges feladatok

  1. Egy n oldalú sok szögnek szoveges átlója van. Hány oldalú a sokszög, ha összesen 54 átlója van?

    MEGOLDÁS

        \[\frac{n * (n -3)} {2} = 54 \]

    ⇒ n * (n – 3) = 108 ⇒ n2 – 3n – 108 = 0  ⇒ x = 12

    elrejt

  2. Egy téglalap területe 320 cm2. Az a oldal 4 cm-rel hosszabb, mint a b oldal hossza. Számítsd ki a téglalap oldalainak hosszát!

    MEGOLDÁS

    a . b = 320 cm2 és a – 4 = b ⇒ a = b + 4
    (b + 4) . b = 320 ⇒ b2 + 4b – 320 = 0 
    ⇒ b = 16 cm ⇒ a = 20 cm

    elrejt

  3. Egy téglalap területe 140 cm2. Az a oldal hossza 1 cm-rel rövidebb, mint a b oldal hosszának háromszoros. Számítsd ki a téglalap oldalainak hosszát!

    MEGOLDÁS

    a . b = 140 cm2 és a + 1 = 3b ⇒ a = 3b – 1
    (3b – 1) . b = 140 ⇒ 3b2 – b – 140 = 0 
    ⇒ b = 7 cm ⇒ a = 20 cm

    elrejt

  4. Egy téglalap kerülete 70 cm, területe 300 cm2. Számítsd ki a téglalap oldalainak hosszát!

    MEGOLDÁS

    2 . (a + b) = 70 cm a . b = 300 cm2 ⇒ 35 – b = a
    (35 – b) . b = 300 ⇒ b2 – 35b + 300 = 0 
    ⇒ b1 = 15 cm ⇒ a1 = 20 cm
    ⇒ b2 = 20 cm ⇒ a2 = 15 cm

    elrejt

 

Feladatok magasabb fokú egyenletekre

Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán!

 

a.) x3 = 64

MEGOLDÁS

x = 4

elrejt
b.) x3 = -125

MEGOLDÁS

x = -5

elrejt
c.) 8x3 – 27 = 0

MEGOLDÁS

    \[x = \frac{3} {2}\]

 

elrejt
d.) 5x3 + 2,56 = 0

MEGOLDÁS

x = 0,8) 

elrejt
e.) x3 + 9x2 + 14x = 0

MEGOLDÁS

x1 = 0  és x2 = -2 és x3 = -7

elrejt
f.) x3 – 3x2 = 0

MEGOLDÁS

x1 = 0  és x2 = 3  

elrejt
g.) 2x3 + 9x2 – 5x = 0

MEGOLDÁS

x1 = 0  és x2 = 0,5 és x3 = -5 

elrejt
h.) 5x3 – 3x2 + 2x = 0

MEGOLDÁS

x = 0 

elrejt
i.) x3 – 3x2 – 6x + 8 = 0

MEGOLDÁS

x1 = -2  és x2 = 1 és x3 = 4 

elrejt
j.) x3 – 3x2 – 4x + 12 = 0

MEGOLDÁS

x1 = -2  és x2 = 2 és x3 = 3 

elrejt
k.) x3 – 7x2 + 7x + 15 = 0

MEGOLDÁS

x1 = -1  és x2 = 3 és x3 = 5 

elrejt
l.) x3 – x2 – 16x – 20 = 0

MEGOLDÁS

x1 = -2  és x2 = 5 

elrejt
m.) x3 – 2x2 + 2x – 15 = 0

MEGOLDÁS

x1 = 3 

elrejt
n.) x3 + x2 – 10x + 8 = 0

MEGOLDÁS

x1 = -4  és x2 = 1 és x3 = 2 

elrejt
o.) x3 – 2x2 – 9x + 18 = 0

MEGOLDÁS

x1 = -3  és x2 = -2 és x3 = 3 

elrejt
p.) x3 – 7x + 6 = 0

MEGOLDÁS

x1 = -3  és x2 = 1 és x3 = 2 

elrejt
q.) x3 – 3x2 + 4 = 0

MEGOLDÁS

x1 = -1  és x2 = 2 

elrejt
r.) 3x3 – 7x2 – 7x + 3 = 0

MEGOLDÁS

x1 = -1  és

    \[x_2 = \frac{1}{3} \]

és  x3 = 3

elrejt
s.) x4 – 10x3 + 35x2 – 50x + 24 = 0

MEGOLDÁS

x1 = 1 és x2 = 2 és x3 = 3 és x4 = 4

elrejt
t.) x4 – 4x3 – 5x2 + 36x – 36 = 0

MEGOLDÁS

x1 = -3 és x2 = 2 és x3 = 3 

elrejt
u.) x4 + 3x3 – x2 – 13x – 10 = 0

MEGOLDÁS

x1 = -1 és x2 = 2 

elrejt
v.) x4 + 2x3 – 3x2 + 3x – 4 = 0

MEGOLDÁS

x4 + 2x3 – 3x2 + 3x – 4 = 0

elrejt
z.) x4 – 5x2 + 4 = 0

MEGOLDÁS

x4 – 5x2 + 4 = o  ⇒ x2 = t ⇒ t2 – 5t + 4 = 0 ⇒ t1 = 4  t2 = 1

t = x2 = 4 ⇒ x1 = -2  x2 = 2 és x2 = 1 ⇒ x3 = -1  x4 = 1

elrejt
zs.) x4 – 20x2 + 64 = 0

MEGOLDÁS

x4 – 20x2 + 64 = o  ⇒ x2 = t ⇒ t2 – 20t + 64 = 0 ⇒ t1 = 16  t2 = 4

t = x2 = 16 ⇒ x1 = -4  x2 = 4 és x2 = 4 ⇒ x3 = -2  x4 = 2

elrejt
x.) x4 – 7x2 + 10 = 0

MEGOLDÁS

x4 – 7x2 + 10 = o  ⇒ x2 = t ⇒ t2 – 7t + 10 = 0 ⇒ t1 = 5  t2 = 2

t = x2 = 5 ⇒ x1 = -\sqrt{5} x2 = \sqrt{5} és x2 = 2 ⇒ x3 = -\sqrt{2}  x4 = \sqrt{2}

elrejt
z.) x4 – 8x2 – 9 = 0

MEGOLDÁS

x4 – 8x2 – 9 = o  ⇒ x2 = t ⇒ t2 – 8t – 9 = 0 ⇒ t1 = 3  t2 = -1

t = x2 = 3 ⇒ x1 = -\sqrt{3} x2 = \sqrt{3} és x2 = -1 nincs megoldás

elrejt

 

Feladatok elsőfokú egyenletrendszerekre

a.)

I. 4x + 3y = 14
II. 2x – y = 12

  

MEGOLDÁS

II. 2x – y = 12  ⇒ y = 2x – 12 ⇒ 4x + 3 * (2x – 12) = 14 ⇒ x = 5 és y = -2

elrejt

b.)

I. -4x – y = 40
II. x + 5y = 9

MEGOLDÁS

II. x + 5y = 9  ⇒ x = 9 – 5y ⇒ -4 * (9 – 5y) – y = 40 ⇒ y = 4 és x = -11

elrejt

c.)

I. 2x – 6y = 6
II. 5x + 3y = 42

MEGOLDÁS

I. 2x – 6y = 6  ⇒ x = 3 + 3y ⇒ 5 * (3 + 3y) + 3y = 42 ⇒ y = 1,5 és x = 7,5

elrejt

d.)

I. 4x + 2y =4
II. -6x + 3y = 33

MEGOLDÁS

I. 4x + 2y = 4  ⇒ y = 2 – 2x ⇒ -6x + 3 * (2 – 2x) = 33 ⇒ x = -2,25 és y = 6,5

elrejt

e.)

I. 12x + 11y = 18
II. 16x – 7y = -12

MEGOLDÁS

I. 12x + 11y = 18 /*4  ⇒ I. 48x + 44y = 72  II. 16x – 7y = -12 /* (-3) ⇒ II. -48x + 21y = 36 ⇒ I. + II. 65y = 108 ⇒ y = \frac{108} {65} és 16x – 7 *\frac{108} {65} = -12 ⇒ x = -\frac{3}{130}

elrejt

ELLENŐRZÉS

12 * -\frac{3}{130} + 11 * \frac{108} {65} = – \frac{36}{130} + \frac{2376}{130} = \frac{2340}{130} = 18

elrejt

f.)

I. 3x – 10y = 3
II. -9x + 24y = -10

MEGOLDÁS

I. 3x – 10y = 3 /* 3  ⇒ I. 9x – 30y = 9  II. -9x + 24y = -10 ⇒ I. + II.

-6y = -1 ⇒ y = \frac{1}{6} és 3x – 10 * \frac{1}{6} = 3 ⇒ x = \frac{28}{18} = \frac{14}{9}

elrejt

g.)

I. 14x – 8y = 10
II. -21x + 15y = 60

MEGOLDÁS

 I. 14x – 8y = 10 /* 3 ⇒ I. 42x – 24y = 30 II. -21x + 15y = 60 /* 2 ⇒ II. -42x + 30y = 120 ⇒ I. + II.

6y = 150 ⇒ y = 25 és x = 15

elrejt

h.)

I. 18x + 24y = -132
II. 27x – 40y = 676

MEGOLDÁS

 I. 18x + 24y = -132 /* 3 ⇒ I. 54x + 72y = -396 II. 27x – 40y = 676 /* (-2) ⇒ II. -54x + 80y = -1352 

I. + II. ⇒ 152y = -1748 ⇒ y = -11,5 és x = 8

elrejt

 

i.)

I. 2x + 3y + 5 = 5x + 6y – 1
II. x – 4y 2 = 2x – 2y

 

MEGOLDÁS

 I. 6 = 3x + 3y II. -2 = x + 6y ⇒ x = -2 – 6y  ⇒ I. 6 = 3* (-2 – 6y) + 3y ⇒ y = \frac{4}{5} és x = -6,8

elrejt

j.)

I. 3 . (x + 5) = 2 . (2y – 1)
II. 4 . (3x – 6) = 3 . (y + 4)

 

MEGOLDÁS

 I. 3 * (x + 5) = 2 * (2y – 1) ⇒ I. 3x – 4y = -17 /* 4 ⇒ I. -12x + 16y = 68 II. 4 * (3x – 6) = 3 * (y + 4) ⇒ II. 12x – 3y = 36 

I. + II. ⇒ 13y = 104 ⇒ y = 8 és x = 5

elrejt

k.)

I. 5 . (2x + y) = 4 . (3y – 5x) + 13
II. 6 . (8x – 2y + 6) = 4 . (2y – 3x) – 4

 

MEGOLDÁS

 I. 5 * (2x + y) = 4 * (3y – 5x) + 13 ⇒ I. 30x – 7y = 13 /* (-2) ⇒ I. -60x + 14y = -26 II. 6 * (8x – 2y + 6) = 4 * (2y – 3x) – 4 ⇒ II. 60x – 20y = -40 

I. + II. ⇒ -6y = -66 ⇒ y = 11 és x = 3

elrejt

l.)

I. 2 . (2x + 3y ) = 3 . (3x – y) + 5
II. 4 . (3x – 4y) = 2 . (x + y) – 10

 

MEGOLDÁS

 I. 2 * (2x + 3y) = 3 * (3x – y) + 5 ⇒ I. 10x – 18y = -10 II. 4 * (3x – 4y) = 2 * (x + y) – 10 ⇒ II. -5x + 9y = 5  /*2  ⇒ -10x +18y = 10

I. + II. ⇒ 0 = 0 ⇒ Minden x és y értékre igaz.

elrejt

m.)

I. 4x – 2y + z =15
II. -x + 3y + 4z =15
III. 5x – y + 3z = 26

MEGOLDÁS

 x = 2  és y = -1 és z = 5

elrejt

 

n.)

I. 2x – 3y + z = 10
II. x + y – 2z = -6
III. 3y – y – 4z = -5

MEGOLDÁS

 x = 4,9  és y = -2,1 és z = -6,1

elrejt

o.)

I. x + y +z =1
II. 17x + y – 7z = 9
III. 4x + 2y + z = 3

MEGOLDÁS

 Minden x, y és z értékre igaz.

elrejt

p.)

I. 3y – z = 7
II. 2x – 3y + 2z = -21
III. 3x + y = -21

MEGOLDÁS

 x = -8  és y = 3 és z = -2

elrejt

q.)

I. 2x + 7y – z = 13
II. 17x – 3y + 4z = -9
III. 3x – 2y + z = -5

MEGOLDÁS

 Ellentmondás.

elrejt

r.)

I. 3x – 4y – 6z = 42
II. -x – 2y + 3z = -6
III. 7x + 10y + 6z = 0

MEGOLDÁS

 x = 6 és y = -3 és z = -2

elrejt
Megtekintés: 50 050


Previous Fontosabb függvények primitív függvényei
Next Primitív függvények (Határozatlan integrál)

KAPCSOLÓDÓ BEJEGYZÉSEK

Egyszerű algebra - feladat és megoldás
Feladatok integrálszámítás
Feladatok függvényvizsgálathoz

11 hozzászólás

  1. Andrea
    2021/10/25
    Válasz

    Kedves Tudománypláza!
    „Írd fel a következő polinomokat egész számokkal szorzatalakba!” feladatok megoldási gondolatmenetét nem értem. Különösen az e,f,g,h … 🙁 Segítenének?
    Köszönöm

  2. zolna
    2021/10/11
    Válasz

    köszi a feladatokat.

  3. Bende Katalin
    2020/10/29
    Válasz

    A 3. feladatcsoport szöveges feladatokból a 3. hibásan van leírva, a szöveg elejéről kimaradt az „egy szám felének” rész.

  4. Gabriella
    2020/05/01
    Válasz

    Szeretném kérni az egyes feladat csoport és a hármas feladat csoport levezetését

    • Gabriella
      2020/05/01
      Válasz

      Hogy jobban megértse. Az általános iskolás kislányomnak kellene

  5. Lászlóné Varga
    2020/04/15
    Válasz

    3(x-1)=5(x+1)
    15(4x+1)=25(2x-3)
    3(2+x)-4=2(2+x)
    7(x+1)-3=3(x-1)+3
    6(x-2)+1=3(x+4)+1
    4(3x-1)+11=2(3x-1)-9
    2(3-2x)+10=5(x-3)-5
    8(2-3x)-11=7(3x-2)+10
    72-2(3x+1)=4(3-2x)
    a levezetését is szeretném kérni hogy meg értsem köszönöm

  6. Dezső
    2020/04/07
    Válasz

    2. feladatcsoport, c feladat megoldása hibás. ( jó : -(50/3) )

Leave a reply

Az e-mail címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöltük

twenty − 16 =