Olvasási idő: 3 perc

Ezeknél a feladatoknál a függvény egyenletét kell megkeresni néhány megadott pont alapján.

Írjuk először fel a függvények általános egyenletét! Például

Harmadfokú polinomfüggvény:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Negyedfokú polinomfüggvény:

f(x) = ax⁴ + bx² + c
(ez szimmetrikus az y tengelyre nézve!)

(A szimmetria miatt a páratlan kitevők elhagyhatóak.)

Ezekből képezzük az 1.) és, ha szükséges a 2.) deriváltat.

Most a megadott információkból annyi egyenletet kell képeznünk, ahány ismeretlenünk van.

• A függvény átmegy egy ponton:
  P(x₁; y₁) ⇒ f(x₁) = y₁
  pl.: P(4; 6), azaz: f(4) = 6
• A függvény meredeksége x₁-nél k: f'(x₁) = k
  pl.: A P(4; 6) pontban a meredekség 3, azaz f ‘(4) = 3
  más megfogalmazásban: A függvény érinti az y = kx + d egyenest, párhuzamos y = kx egyeneshez …
• A függvénynek szélsőértéke van x₁-nél: f'(x₁) = 0
  pl.: H(1; 3), azaz f'(1) = 0
  más megfogalmazásban: a függvény érinti az x tengelyt, az érintő párhuzamos az x tengellyel.
  pl.: W(4; 6), azaz f”(4) = 0

Példa:

Egy harmadfokú polinomfüggvény meredeksége a P(1; 1) pontban 4, és a W(2; 3) egy inflexiós pontja.

Általános megoldási menet:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
f”(x) = 6ax + 2b

A függvény átmegy P(1; 1) ponton:
P(x₁; y₁) ⇒ f(x₁) = a ^. x³ + b ^. x² + c ^. x + d = y₁

f(1) = 1 ⇒ a ^. 1³ + b ^.  1² + c ^. 1 + d = 1

 a + b + c + d = 1 

A függvény meredeksége x = 1-nél 4:
P(x₁; y₁) ⇒ f'(x₁) = 3a ^. x² + 2b ^. x + c = y₁

f'(1) = 4 ⇒ 3a ^. 1² + 2b ^.  1 + c = 4

 3a + 2b + c = 4 

A függvény átmegy W(2; 3) ponton:
P(x₁; y₁) ⇒ f(x) = a ^. x³ + b ^. x² + c ^. x + d = y₁

f(2) = 3 ⇒ a ^. 2³ + b ^.  2² + c ^. 2 + d = 3

 8a + 4b + 2c + d = 3 

 

Az x = 2-nél egy inflexiós pont van:
P(x₁; y₁) ⇒ f”(x₁) = 6a ^. x + 2b = 0

f”(2) = 0 ⇒ 6a ^. 2 + 2b = 0

 12a + 2b = 0 

 

Tehát a következő egyenletrendszert kell megoldanunk:

1.       a + b + c + d = 1 
2.       3a + 2b + c = 4  
3.       8a + 4b + 2c + d = 3 
4.       12a + 2b = 0 

 

4.   12a + 2b = 0  → 12a = -2b           /: (-2)
                                     -6a = b

2.  3a + 2b + c = 4 → 3a + 2 ^. (-6a) + c = 4 
                                          3a – 12a + c = 4
                                          -9a + c = 4                    /+9a
                                          c = 4 + 9a

 

1.   a + b + c + d = 1  → a + (-6a) + (4 + 9a) + d = 1
                                             4a + d = -3

3.  8a + 4b + 2c + d = 3 → 8a + 4 ^. (-6) + 2 ^. (4 + 9a) + d = 3
                                                  2a + d = -5

 

   

                    -3 – 4a = -5 – 2a                      /+5
                    2 – 4a = -2a                             /+4a
                    2 = 2a                                      /:2
                    1 = a                                                

↓	↓	↓
c = 4 + 9a	-6a = b	4a + d = -3
c = 4 + 9 . 1	-6 . 1 = b	4 . 1 + d = -3
c = 13	b = -6	7 = d

 

A függvény egyenlete tehát:
f(x) = x³ + 6x² + 13x – 7