Feladatok és megoldásaik függvényekhez

Olvasási idő: 11 perc

Feladatok az alapfogalmakhoz

1. Írd fel a következő összefüggéseket függvényként!

a.) Benzinár: 1,2 €/l
x: ismert liter,
p(x): ár

MEGOLDÁS

$\begin{bmatrix}{x}&{1}&{2}&{3}&{4}&{5}\\{p(x)}&{1,2}&{2,4}&{3,6}&{4,8}&{6}\end{bmatrix} f(x) = 1,2x$

elrejt

b.) Telefonszámla:
alapköltség: ATS 26 €
kapcsolási díj: 9,30 € tarifaegységenként
x: tarifaegységek száma
R(x): számladíj

MEGOLDÁS

$\begin{bmatrix}{x}&{1}&{2}&{3}&{4}&{5}\\{R(x)}&{25,3}&{44,6}&{53,9}&{63,2}&{72,5}\end{bmatrix} f(x) = 9,3x + 26$

elrejt

c.) Taxiutazás: alapdíj:
ATS 28 € kilométerár: ATS 8 €
x: megtett kilométer,
F(x): ár

MEGOLDÁS

$\begin{bmatrix}{x}&{1}&{2}&{3}&{4}&{5}\\{F(x)}&{36}&{44}&{52}&{60}&{68}\end{bmatrix} f(x) = 8x + 28$

elrejt

d.) Egy olajtank 500 l olajat képes tárolni. Napi felhasznált mennyiség: 35 l t: idő napokban, R(t): megmaradt olajmennyiség

MEGOLDÁS

$\begin{bmatrix}{t}&{1}&{2}&{3}&{4}&{5}\\{R(t)}&{465}&{430}&{395}&{360}&{325}\end{bmatrix} f(x) = 500 - 35x$

elrejt

2.) A következő függvények adottak, értelmezési tartományuk az $\mathbb{R}$ !

f₁ : x → x + 1
f₂ : x → 2x
f₃ : x → x²f₄ : x → $\frac{1}{x}$

a.) Rajzold meg a függvények képét értéktáblázat segítségével a [-3; 3] intervallumban! Ügyelj az értelmezési tartományokra!)

f₁ : x → x + 1

MEGOLDÁS

$\begin{bmatrix}{x}&{-3}&{-2}&{-1}&{0}&{1}&{2}&{3}\\{f_1(x)}&{-2}&{-1}&{0}&{1}&{2}&{3}&{4}\end{bmatrix}$

elrejt

f₂ : x → 2x

MEGOLDÁS

$\begin{bmatrix}{x}&{-3}&{-2}&{-1}&{0}&{1}&{2}&{3}\\{f_2(x)}&{-6}&{-4}&{-2}&{0}&{2}&{4}&{6}\end{bmatrix}$

elrejt

f₃ : x → x²

MEGOLDÁS

$\begin{bmatrix}{x}&{-3}&{-2}&{-1}&{0}&{1}&{2}&{3}\\{f_3(x)}&{9}&{4}&{1}&{0}&{1}&{4}&{9}\end{bmatrix}$

elrejt

f₄ : x → $\frac{1}{x}$

MEGOLDÁS

$\begin{bmatrix}{x}&{-3}&{-2}&{-1}&{0}&{1}&{2}&{3}\\{f_4(x)}&{-\frac{1}{3}}&{-\frac{1}{2}}&{-1}&{-}&{1}&{\frac{1}{2}}&{\frac{1}{3}}\end{bmatrix}$

a 0 x érték nem megengedett az osztás miatt

elrejt

b.) Add meg az adott függvények inverzfüggvényét, ha létezik!
Példa: f : x = x – 2 → f^-1 : x = y – 2 ⇒ y = x + 2

MEGOLDÁS

$f_1 : y = x + 1 \rightarrow f_1^{-1} : x = y + 1 \Rightarrow y = x - 1$

$f_2 : y = 2x \rightarrow f_2^{-1} : x = 2y \Rightarrow y = \frac{x}{2}$

$f_3 : y = x^2 \rightarrow f_3^{-1} : x = y^2 \Rightarrow y = \sqrt{x}$

$f_4 : y = \frac{1}{x} \rightarrow f_4^{-1} : x = \frac{1}{y} \Rightarrow y = \frac{1}{x}$

elrejt

c.) Add össze az adott függvényeket!
Példa: f₁(x) + f₂(x) = x + 1 + 2x = 3x + 1

c/1.) f₁ + f₃	MEGOLDÁS f₁ + f₃ ⇒ x² + x + 1 elrejt
c/2.) f₂ + f₃	MEGOLDÁS f₂ + f₃ ⇒ x² + 2x elrejt
c/3.) f₂ + f₄	MEGOLDÁS $f_2 + f_4 \Rightarrow 2x + \frac{1}{x} = \frac{2x^2 + 1}{x}$ elrejt
c/4.) f₃ + f₄	MEGOLDÁS $f_3 + f_4 \Rightarrow 2x + \frac{1}{x} = \frac{2x^2 + 1}{x}$ elrejt
d.) Szorozd össze az adott függvényeket! Példa: f₁(x) ^. f₂(x) = (x + 1) ^. 2x = 2x² + 2x
d/1.) f₁ ^. f₃	MEGOLDÁS $f_1 * f_3 \Rightarrow x^2 * (x + 1) = x^3 + x^2$ elrejt
d/2.) f₂ ^. f₃	MEGOLDÁS $f_2 * f_3 \Rightarrow 2x * x^2 = 2x^3$ elrejt
d/3.) f₂ ^. f₄	MEGOLDÁS $f_2 * f_4 \Rightarrow 2x * \frac{1}{x} = 2$ elrejt
d/4.) f₃ ^. f₄	MEGOLDÁS $f_3 * f_4 \Rightarrow x^2 * \frac{1}{x} = x$ elrejt
e.) Add meg a következő összetett függvényeket! Példa: f₁(f₂(x)) =2x + 1, de f₂(f₁(x)) = 2(x+1) = 2x + 2
e/1.) f₁(f₃(x))	MEGOLDÁS f₁(f₃(x)) ⇒ x² + 1 elrejt
e/2.) f₃(f₁(x))	MEGOLDÁS f₃(f₁(x)) ⇒ (x + 1)² elrejt
e/3.) f₁(f₄(x))	MEGOLDÁS $f_1 ( f_4 (x)) \Rightarrow \frac{1}{x} + 1$ elrejt
e/4.) f₄(f₁(x))	MEGOLDÁS $f_4 ( f_1 (x)) \Rightarrow \frac{1}{x + 1}$ elrejt
e/5.) f₂(f₃(x))	MEGOLDÁS $f_2 ( f_3 (x)) \Rightarrow 2x^2$ elrejt
e/6.) f₃(f₂(x))	MEGOLDÁS $f_3 ( f_2 (x)) \Rightarrow (2x)^2 = 4x^2$ elrejt
e/7.) f₂(f₄(x))	MEGOLDÁS $f_2 ( f_4 (x)) \Rightarrow \frac{2}{x}$ elrejt
e/8.) f₄(f₂(x))	MEGOLDÁS $f_4 ( f_2 (x)) \Rightarrow \frac{1}{2x}$ elrejt

Feladatok a lineáris függvényekhez

1.) Számold ki a zérushelyeket, a fixértéket és add meg az inverzfüggvényeket a következő függvényeknél! (Zérushely: f(x) = 0, fixérték: f(x) = x) Rajzold meg a függvényt!
a.) f : y = 2x – 3
MEGOLDÁS Zérushely: $x = \frac{3}{2},$ Fixérték: $2x - 3 = x \Rightarrow x = 3,$ Inverzfüggvény: $x = 2y - 3 \Rightarrow y = \frac{x + 3}{2}$ elrejt
b.) f : y = -3x + 6
MEGOLDÁS Zérushely: $x = 2,$ Fixérték: $-3x + 6 = x \Rightarrow x = \frac{3}{2},$ Inverzfüggvény: $x = -3y + 6 \Rightarrow y = \frac{x - 6}{3}$ elrejt
c.) f : y = $\frac{1}{4}x + 3$
MEGOLDÁS Zérushely: $x = -12,$ Fixérték: $\frac{1}{4}x + 3 = x \Rightarrow x = 4,$ Inverzfüggvény: $x = \frac{1}{4}y + 3 \Rightarrow y = 4x - 3$ elrejt
d.) f : y = $-\frac{3}{2}x + 9$
MEGOLDÁS Zérushely: $x = 6,$ Fixérték: $-\frac{3}{2}x + 9 = x \Rightarrow x = \frac{8}{15},$ Inverzfüggvény: $x = -\frac{3}{2}y + 9 \Rightarrow y = \frac{(x - 9) * 2}{3}$ elrejt
e.) f : y = x – 5
MEGOLDÁS Zérushely: $x = 5,$ Fixérték: $x - 5 = x \Rightarrow x = nincs,$ Inverzfüggvény: $x = y - 5 \Rightarrow y = x + 5$ elrejt
f.) f : y = $\frac{1}{3}x - 2$
MEGOLDÁS Zérushely: $x = 6,$ Fixérték: $\frac{1}{3}x - 2 = x \Rightarrow x = -\frac{1}{3},$ Inverzfüggvény: $x = \frac{1}{3}y - 2 \Rightarrow y = (x + 2) * 3$ elrejt
g.) f : y = -0,5x – 3
MEGOLDÁS Zérushely: $x = -6,$ Fixérték: $-0,5x - 3 = x \Rightarrow x = -2,$ Inverzfüggvény: $x = -0,5y - 3 \Rightarrow y = -2(x + 3)$ elrejt
h.) f : y = 7 – x
MEGOLDÁS Zérushely: $x = 7,$ Fixérték: $7 - x = x \Rightarrow x = \frac{7}{2},$ Inverzfüggvény: $x = 7 - y \Rightarrow y = 7 - x$ elrejt

2.) Add meg a lineáris függvény egyenletét, mely átmegy az origón és a megadott P ponton!
a.) P (4; 6)	MEGOLDÁS $f(x) = \frac{6}{4}x$ elrejt
b.) P (12; 3)	MEGOLDÁS $f(x) = \frac{1}{4}x$ elrejt
c.) P (-3; 9)	MEGOLDÁS $f(x) = -3x$ elrejt
d.) P (8; -5)	MEGOLDÁS $f(x) = -\frac{5}{8}x$ elrejt
e.) P (-1; -7)	MEGOLDÁS $f(x) = 7x$ elrejt
f.) P (2,5; -7,5)	MEGOLDÁS $f(x) = -3x$ elrejt

3.) Add meg a lineáris függvény egyenletét, mely átmegy a megadott P ponton és a meredeksége k:
a.) P (4; 6) k = 1	MEGOLDÁS $f(x) = x + 2$ elrejt
b.) P (3; 1) k = 2	MEGOLDÁS $f(x) = 2x - 5$ elrejt
c.) P (4; 4) k = $-\frac{3}{4}$	MEGOLDÁS $f(x) = -\frac{3}{4}x + 7$ elrejt
d.) P (-3; -5) k = $-\frac{5}{3}$	MEGOLDÁS $f(x) = -\frac{5}{3}x - 10$ elrejt
e.) P (4; -2) k = -3	MEGOLDÁS $f(x) = -3x + 10$ elrejt
f.) P (6; 0) k = $\frac{1}{2}$	MEGOLDÁS $f(x) = \frac{1}{2}x - 3$ elrejt

4.) Add meg a lineáris függvény egyenletét, amely átmegy az A és B pontokon!

a.) A (4; 6), B (3; 5)	MEGOLDÁS $k = \frac{6 - 5}{4 - 3} = \frac{1}{1} = 1 \Rightarrow f(x) = x + 2$ elrejt
b.) A (-2; 4), B (2; 2)	MEGOLDÁS $k = \frac{2 - 4}{2 - (-2)} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} \Rightarrow f(x) = -\frac{1}{2}x + 3$ elrejt
c.) A (-3; 2), B (6; 8)	MEGOLDÁS $k = \frac{8 - 2}{6 - (-3)} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \Rightarrow f(x) = \frac{2}{3}x + 4$ elrejt
d.) A (-1; -1,5), B (3; -7,5)	MEGOLDÁS $k = \frac{-7,5 - (-1,5)}{3 - (-1)} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} \Rightarrow f(x) = -\frac{3}{2}x - 3$ elrejt
e.) A (1; 2), B (-1; -3)	MEGOLDÁS $k = \frac{-3 - 2}{-1 - 1)} = \frac{-5}{-2} = \frac{5}{2} \Rightarrow f(x) = \frac{5}{2}x - 0,5$ elrejt
f.) A (3; 1,8), B (8; 2,3)	MEGOLDÁS $k = \frac{2,3 - 1,8}{8 - 3} = \frac{0,5}{5} = \frac{1}{10} \Rightarrow f(x) = \frac{1}{10}x + 1,5$ elrejt

5.) Oldd meg a következő egyenletrendszereket grafikusan!
a.) I. 2x – y = 2 II. -x + 3y = 9	b.) I. 3x + y = -3 II. 3x + 4y = 6
MEGOLDÁS $L(3;4) x = 3, y = 4$ elrejt	MEGOLDÁS $L(-2; 3) x = -2, y = 3$ elrejt
c.) I. 2x + y = 6 II. 4x + 3y = 12	d.) I. x – 4y = 8 II. x + y = 3
MEGOLDÁS $L(3; 0) x = 3, y = 0$ elrejt	MEGOLDÁS $L(4; -1) x = 4, y = -1$ elrejt

6.) Egy mobiltelefon-társaság a következő tarifákat kínálja: Értékkártya: 0,60 €/perc Tarifa A: 0,20 €/perc, 10 € alapdíj Tarifa B: 0,10 €/perc, 20 € alapdíj
a.) Add meg a számlát a lebeszélt idő függvényeként minden tarifánál!
MEGOLDÁS elrejt
b.) Mennyi az egyes tarifáknál a számladíj, ha 1 órát beszélünk egy hónapban?	MEGOLDÁS Értékkártya: w(x) = 0,6x Tarifa A: a(x) = 0,2x + 10 Tarifa B: b(x) = 0,1x + 20 1 óra = 60 perc w(x) = 0,6 * 60 = 36 € a(x) = 0,2 * 60 + 10 = 22 € b(x) = 0,1 * 60 + 20 = 26 € elrejt
c.) Hányadik perctől lesz a tarifa A olcsóbb, mint az értékkártya?	MEGOLDÁS 0,6x > 0,2x + 10 0,4x > 10 x > 25 A 25. perctől lesz a tarifa A olcsóbb mint az értékkártya. elrejt
d.) Hányadik perctől lesz a tarifa B olcsóbb, mint a tarifa A?	MEGOLDÁS 0,2x + 10 > 0,1x + 20 0,1x > 10 x > 100 A 100. perctől lesz a tarifa B olcsóbb mint a tarifa A. elrejt
e.) Ábrázold a 3 függvényt egy koordináta rendszerben! 20 perc = 1 cm, 10 € = 1 cm


7. ) Egy taxiút 2,50 € alapdíjba és 0,96 €-ba kerül kilométerenként:
a.) Ábrázold az utazási költséget F(x) a megtett út x függvényében!
MEGOLDÁS elrejt
b.) Mennyibe kerül egy 6 km-es út?
MEGOLDÁS F(x) = 0,96x + 2,50 x = 6 km 0,96*6 + 2,5 = 8,26 € Egy 6 km-es út 8,26 €-ba kerül. elrejt
c.) Milyen messze jutunk 10 €-val?
MEGOLDÁS 0,96x + 2,5 = 10 0,96x = 7,5 x = 7,8125 km 10 €-val kb. 7,8125 km utat tehetünk meg. elrejt

Feladatok a másodfokú függvényekhez

1.) Ábrázold a következő függvényeket értéktáblázat segítségével a megadott intervallumban és számold ki a zérushelyeket!

a.) f(x) = x² – 2 [-2; 2]

MEGOLDÁS

$\begin{bmatrix}{x}&{-2}&{-1}&{0}&{1}&{2}\\{f(x)}&{2}&{-1}&{-2}&{-1}&{2}\end{bmatrix}$

Zérushely:

$x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$

elrejt

MEGOLDÁS FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS

elrejt

b.) f(x) = x² – 4x [-1; 5]

MEGOLDÁS

$\begin{bmatrix}{x}&{-1}&{0}&{1}&{2}&{3}&{4}&{5}\\{f(x)}&{5}&{0}&{-3}&{-4}&{-3}&{0}&{5}\end{bmatrix}$

elrejt

MEGOLDÁS FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS

elrejt

c.) f(x) = 2x² – 2x – 4 [-2; 3]

MEGOLDÁS

$\begin{bmatrix}{x}&{-2}&{-1}&{0}&{1}&{2}&{3}\\{f(x)}&{8}&{0}&{-4}&{-4}&{0}&{8}\end{bmatrix}$

elrejt

MEGOLDÁS FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS

elrejt

d.)

$f(x) = \frac{x^2}{2} + 2x + 2$

[-5; 1]

MEGOLDÁS

$\begin{bmatrix}{x}&{-5}&{-4}&{-3}&{-2}&{-1}&{0}&{1}\\{f(x)}&{4,5}&{2}&{0,5}&{0}&{0,5}&{2}&{4,5}\end{bmatrix}$

elrejt

MEGOLDÁS FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS

elrejt

e.) f(x) = -x² + x + 1 [-2; 3]

MEGOLDÁS

$\begin{bmatrix}{x}&{-2}&{-1}&{0}&{1}&{2}&{3}\{f(x)}&{-5}&{-1}&{1}&{1}&{-1}&{-5}\end{bmatrix}$

Zérushely:

$-x^2 + x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\pm\sqrt{5}$

elrejt

MEGOLDÁS FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS

elrejt

f.) f(x) = -2x² – 3x – 2 [-3; 1]

MEGOLDÁS

$\begin{bmatrix}{x}&{-3}&{-2}&{-1}&{0}&{1}\{f(x)}&{-11}&{-4}&{-1}&{-2}&{-7}\end{bmatrix}$

Zérushely:

$-2x^2 - 3x - 2 = 0 \Rightarrow nincs$

elrejt

1.) Ábrázold a következő függvényeket értéktáblázat segítségével a megadott intervallumban és számold ki a zérushelyeket!

a.) f(x) = x² – 2 [-2; 2]

MEGOLDÁS

$\begin{bmatrix}{x}&{-2}&{-1}&{0}&{1}&{2}\\{f(x)}&{2}&{-1}&{-2}&{-1}&{2}\end{bmatrix}$

Zérushely:

$x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$

elrejt

MEGOLDÁS FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS

elrejt

b.) f(x) = x² – 4x [-1; 5]

MEGOLDÁS

$\begin{bmatrix}{x}&{-1}&{0}&{1}&{2}&{3}&{4}&{5}\\{f(x)}&{5}&{0}&{-3}&{-4}&{-3}&{0}&{5}\end{bmatrix}$

elrejt

MEGOLDÁS FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS

elrejt

c.) f(x) = 2x² – 2x – 4 [-2; 3]

MEGOLDÁS

$\begin{bmatrix}{x}&{-2}&{-1}&{0}&{1}&{2}&{3}\\{f(x)}&{8}&{0}&{-4}&{-4}&{0}&{8}\end{bmatrix}$

elrejt

MEGOLDÁS FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS

elrejt

d.)

$f(x) = \frac{x^2}{2} + 2x + 2$

[-5; 1]

MEGOLDÁS

$\begin{bmatrix}{x}&{-5}&{-4}&{-3}&{-2}&{-1}&{0}&{1}\\{f(x)}&{4,5}&{2}&{0,5}&{0}&{0,5}&{2}&{4,5}\end{bmatrix}$

elrejt

MEGOLDÁS FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS

elrejt

e.) f(x) = -x² + x + 1 [-2; 3]

MEGOLDÁS

$\begin{bmatrix}{x}&{-2}&{-1}&{0}&{1}&{2}&{3}\\{f(x)}&{-5}&{-1}&{1}&{1}&{-1}&{-5}\end{bmatrix}$

Zérushely:

$-x^2 + x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\pm\sqrt{5}$

elrejt

MEGOLDÁS FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS

elrejt

f.) f(x) = -2x² – 3x – 2 [-3; 1]

MEGOLDÁS

$\begin{bmatrix}{x}&{-3}&{-2}&{-1}&{0}&{1}\\{f(x)}&{-11}&{-4}&{-1}&{-2}&{-7}\end{bmatrix}$

Zérushely:

$-2x^2 - 3x - 2 = 0 \Rightarrow nincs$

elrejt

MEGOLDÁS FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS

elrejt

2.) Számold ki a következő parabolák tengelypontját és metszéspontjait az x tengellyel, majd ábrázold őket!

a.) y = x² – 6x + 11

MEGOLDÁS

y = x² – 6x + 11 = (x – 3)² – 9 + 11 = (x – 3)² + 2 ⇒ T (3; 2)
(x – 3)² + 2 = 0 ⇒ (x – 3)² = -2 ⇒ nincs zérushely

elrejt

b.) y = x² – 2x – 3

MEGOLDÁS

y = x² – 2x – 3 = (x – 1)² – 1 – 3 = (x – 3)² – 4 ⇒ T (1; -4)
(x – 1)² – 4 = 0 ⇒ (x – 1)² = 4 ⇒ x₁ = 3 és x₂ = -1

elrejt

c.) y = x² + 4x + 3

MEGOLDÁS

y = x² + 4x + 3 = (x + 2)² – 4 + 3 = (x + 2)² – 1 ⇒ T (-2; -1)
(x + 2)² – 1 = 0 ⇒ (x + 2)² = 1 ⇒ x₁ = -1 és x₂ = -3

elrejt

d.) y = x² + 5x + 7

MEGOLDÁS

y = x² + 5x + 7 = (x + 2,5)² – 6,25 + 7 = (x + 2,5)² + 0,75 ⇒ T (-2,5; -7,5)
(x + 2,5)² + 0,75 = 0 ⇒ (x + 2,5)² = -0,75 ⇒ nincs zérushely

elrejt

3.) Számold ki a másodfokú függvények egyenletét, melynek grafikonja átmegy a megadott pontokon! Ábrázold a függvényt és számítsd ki a zérushelyeket! Példa: A (0; 2) B (1; 1) C (3; 5) f : y = ax² + bx + c A ∈ f : 2 = a ^. 0² + b ^. 0 + c B ∈ f : 1 = a ^. 1² + b ^. 1 + c C ∈ f : 5 = a ^. 3² + b ^. 3 + c a = 1, b = -2, c = 2, y = x² – 2x + 2
a.) A (0; 6) B (1; 3) C (2; 2)	MEGOLDÁS f : y = ax² + bx + c A ∈ f : 6 = a ^. 0² + b ^. 0 + c ⇒ c = 6 B ∈ f : 3 = a ^. 1² + b ^. 1 + c ⇒ 3 = a + b + 6 ⇒ -3 – b = a C ∈ f : 2 = a ^. 2² + b ^. 2 + c ⇒ 2 = 4a + 2b + 6 ⇒ b = -4 a = 1, b = -4, c = 6, y = x² – 4x + 6 Zérushelyek: nincs elrejt
b.) A (0; 0) B (2; 4) C (3; 3)	MEGOLDÁS f : y = ax² + bx + c A ∈ f : 0 = a ^. 0² + b ^. 0 + c ⇒ c = 0 B ∈ f : 4 = a ^. 2² + b ^. 2 + c ⇒ 4 = 4a + 2b ⇒ b = 2 – 2a C ∈ f : 3 = a ^. 3² + b ^. 3 + c ⇒ 3 = 9a + 3b 3 = 9a + 3 ^. (2 – 2a) = 9a + 6 – 6a ⇒ a = -1 a = 1, b = 4, c = 0, y = -x² + 4x Zérushelyek: x₁ = 0 és x₂ = 4 elrejt
c.) A (-1; -4) B (1; 2) C (2; 11)	MEGOLDÁS f : y = ax² + bx + c A ∈ f : -4 = a ^. -1² + b ^. -1 + c ⇒ -4 = a – b + c -4 = a – b + c ⇒ b = a + 4 + c B ∈ f : 2 = a ^. 1² + b ^. 1 + c ⇒ 2 = 2a + 4 + 2c ⇒ -2 = 2a + 2c -2 = 2a + 2c ⇒ c = -1 – a C ∈ f : 11 = a ^. 2² + b ^. 2 + c ⇒ 11 = 4a + 2b + c 11 = 4a + 2b + c = 4a + 2 ^. (a + 4 c) + c ⇒ 11 = 6a + 8 + 3c 11 = 6a + 8 + 3c = 6a + 8 + 3 ^. (-1 – a) ⇒ a = 2 c = -1 – 2 = -3 a = 2, b = 3, c = -3, y = 2x² + 3x – 3 Zérushelyek: $x_1 = \frac{-3 + \sqrt33}{4} \hspace{25pt} x_2 = \frac{-3 + \sqrt33}{4}$ elrejt
d.) A (1; 4,5) B (2; 5) C (4; 3)	MEGOLDÁS f : y = ax² + bx + c A ∈ f : 4,5 = a ^. -1² + b ^. -1 + c ⇒ 4,5 = a + b + c ⇒ c = 4,5 – a – b B ∈ f : 5 = a ^. 2² + b ^. 2 + c ⇒ 5 = 4a + 2b + c 5 = 4a + 2b + (4,5 – a – b) ⇒ 0,5 = 3a + b C ∈ f : 3 = a ^. 4² + b ^. 4 + c ⇒ 3 = 16a + 4b + c 3 = 16a + 4b + (4,5 – a – b) ⇒ – 1,5 = 15a + 3b -1,5 = 15a + 3b ⇒ b = -0,5 – 5a 0,5 = 3a + b = 3a + (-0,5 – 5a) ⇒ $a = -\frac{1}{2}\hspace{25pt}b = -0,5 - 5 * -\frac{1}{2} = 2$ $a = -\frac{1}{2},\hspace{15pt}b = 2,\hspace{15pt}c = 3,\hspace{15pt}y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 3$ Zérushelyek: $x_1 = 2 + {\sqrt3} \hspace{25pt} x_2 = 2 - {\sqrt3}$ elrejt