Feladatok és megoldások deriválás témakörben

TudományPláza 2017/05/07 81.4k Views

Differenciálszámítási feladatok és megoldások

Olvasási idő: 5 perc

1.) Számítsd ki a következő függvények deriváltjait!

a.) f(x) = x¹⁰⁰	MEGOLDÁS f'(x) = 100x⁹⁹ elrejt
b.) f(x) = 3x⁵	MEGOLDÁS f'(x) = 15x⁴ elrejt
c.) f(x) = 5x¹²	MEGOLDÁS f'(x) = 60x¹¹ elrejt
d.) f(x) = 0,5x⁴	MEGOLDÁS f'(x) = 2x³ elrejt
e.) $f(x) = \frac{x^6}{9}$	MEGOLDÁS $f'(x) = \frac{6x^5}{9} = \frac{2x^5}{3}$ elrejt
f.) f(x) = 3x³ + 4x² – 5x	MEGOLDÁS $f'(x) = 9x^2 + 8x - 5$ elrejt
g.) f(x) = x⁴ – 6x³ + 5x² + 3	MEGOLDÁS $f'(x) = 4x^3 - 18x^2 + 10x$ elrejt
h.) f(x) = 2x³ – 12x² + 7x – 8	MEGOLDÁS $f'(x) = 6x^2 - 24x + 7$ elrejt
i.) $f(x) = \frac{x^4}{2} + 4x^3 - 5x^2$	MEGOLDÁS $f'(x) = 2x^3 + 12x^2 - 10x$ elrejt
j.) $f(x) = \frac{x^3}{6} - 3\frac{x^2}{4} + \frac{5x}{2} - \frac{1}{3}$	MEGOLDÁS $f'(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{3x}{2} + \frac{5}{2}$ elrejt

k.) $f(x) = \frac{x^{10}}{5} + \frac{2x^6}{9} - \frac{5x^2}{2}$	MEGOLDÁS $f'(x) = 2x^9 + \frac{4x^5}{3} - 5x$ elrejt
l.) $f(x) = \frac{1}{x^3}$	MEGOLDÁS $f'(x) = -\frac{3}{x^4}$ elrejt
m.) $f(x) = \frac{3}{x^2}$	MEGOLDÁS $f'(x) = -\frac{6}{x^3}$ elrejt
n.) $f(x) = \frac{1}{2x^4}$	MEGOLDÁS $f'(x) = -\frac{2}{x^5}$ elrejt
o.) $f(x) = \frac{2}{3x^6}$	MEGOLDÁS $f'(x) = -\frac{4}{x^7}$ elrejt
p.) $f(x) = x^2 + \frac{2x}{3} - \frac{1}{6} - \frac{4}{x}$	MEGOLDÁS $f'(x) = 2x + \frac{2}{3} + \frac{4}{x^2}$ elrejt
q.) $f(x) = \frac{3}{x^3} - \frac{2}{x^2} + \frac{1}{3x}$	MEGOLDÁS $f'(x) = -\frac{9}{x^4} + \frac{4}{x^3} - \frac{1}{3x^2}$ elrejt
r.) $f(x) = \frac{1}{x^4} - \frac{6}{x^3} + \frac{12}{x^3} - \frac{8}{x} + 2$	MEGOLDÁS $f'(x) = -\frac{4}{x^5} - \frac{18}{x^4} + \frac{8}{x^2}$ elrejt
s.) $f(x) = \sqrt[3]{x}$	MEGOLDÁS $f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ elrejt
t.) $f(x) = \sqrt{x^3}$	MEGOLDÁS $f'(x) = \frac{3\sqrt{x}}{2}$ elrejt
u.) $f(x) = 8 * \sqrt{x} - 2 * \sqrt[4]{x}$	MEGOLDÁS $f'(x) = \frac{4}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2 * \sqrt[4]{x^3}}$ elrejt
v.) $f(x) = \sqrt[3]{\frac{x}{2}} + \frac{1}{\sqrt {x} }$	MEGOLDÁS $f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{2x^2}} - \frac{1}{2\sqrt{x^3}}$ elrejt

2.) Számítsd ki a következő függvények deriváltjait az x = x₀ pontban!

a.) f(x) = 3x² x₀ = 4
MEGOLDÁS $\frac{3 * (4 + \Delta x)^2 - 3 * 4^2}{\Delta x} = \frac{3 * (16 + 8 * \Delta x + \Delta x^2) - 48}{\Delta x} =$ $\frac{48 + 24 * \Delta x) + \Delta x^2 - 48}{\Delta x} = \frac{24 * \Delta x + \Delta x^2}{\Delta x} = 24 + \Delta x \Rightarrow 24$ elrejt
b.) $f(x) = \frac{x^4}{2}$ x₀ = 3	MEGOLDÁS 54 elrejt
c.) f(x) = 2x⁵ – 5x⁴ + 3x² x₀ = 1	MEGOLDÁS -4 elrejt
d.) f(x) = 7x³ + 9x² + 8 x₀ = -1	MEGOLDÁS 3 elrejt
e.) $f(x) = \frac{1}{x}$ x₀ = 2	MEGOLDÁS $-\frac{1}{4}$ elrejt
f.) $f(x) = 4 - \frac{2}{x^2}$ x₀ = 3	MEGOLDÁS $\frac{4}{27}$ elrejt
g.) $f(x) = \frac{x}{4} + \frac{3}{2} + \frac{9}{x}$ x₀ = 6	MEGOLDÁS 0 elrejt
h.) $f(x) = \sqrt{x}$ x₀ = 9	MEGOLDÁS $\frac{1}{6}$ elrejt

3.) Számítsd ki a következő függvények deriváltját:

(A) a szorzat-szabály segítségével
(B) először elvégzed a beszorzást!

a.) y = (2x + 3) ^. (2x – 1)	MEGOLDÁS 8x + 4 elrejt
b.) y = (x + 4) ^. (x² – 2)	MEGOLDÁS 3x² + 8x – 2 elrejt
c.) y = (3x² – 5) ^. (x² + 3x)	MEGOLDÁS 12x³ – 10x + 27x² – 15 elrejt
d.) y = (x² + 2x + 1) ^. (2x – 2)	MEGOLDÁS 6x² + 4x – 2 elrejt
e.) y = (2x + 3) ^. (4x² – 6x + 9)	MEGOLDÁS 24x² elrejt
f.) y = (x³ + 4x – 5) ^. (2x² -6x + 6)	MEGOLDÁS 10x⁴ – 24x³ + 42x² – 68x + 54 elrejt

4. Deriváld a következőket!

a.) $y = \frac{x - 1}{x + 4}$	MEGOLDÁS $y' =\frac{5}{(x + 4)^2}$ elrejt
b.) $y = \frac{2x + 1}{3x - 5}$	MEGOLDÁS $y' =\frac{-13}{(3x - 5)^2}$ elrejt
c.) $y = \frac{2x}{x^3 + 2}$	MEGOLDÁS $y' =\frac{4 - 4x^3}{(x^3 + 2)^2}$ elrejt
d.) $y = \frac{x^2 - 5x}{x^2 - 4}$	MEGOLDÁS $y' =\frac{5x^2 - 8x + 20}{(x^2 - 4)^2}$ elrejt
e.) $y = \frac{2x^2 - 3x + 1}{6x + 5}$	MEGOLDÁS $y' =\frac{12x^2 + 20x - 21}{(6x + 5)^2}$ elrejt
f.) $y = \frac{x^3 - 1}{x^2 + 3x}$	MEGOLDÁS $y' =\frac{x^4 + 6x^3 + 2x + 3}{(x^2 + 3x)^2}$ elrejt

5.) Számítsd ki a következő függvények deriváltját:

(A) a hányados-szabály segítségével
(B) először elvégzed az osztást!

a.) $y = \frac{x^2 + 3}{x}$	MEGOLDÁS $y' = 1 - \frac{3}{x^2}$ elrejt
b.) $y = \frac{x^2 - 6x + 9}{3x}$	MEGOLDÁS $y' = \frac{1}{3} - \frac{3}{x^2}$ elrejt
c.) $y = \frac{3x^3 - 4x^2}{x^2}$	MEGOLDÁS y’ = 3 elrejt
d.) $y = \frac{x^3 + 6x^2 - 8x - 2}{4x^2}$	MEGOLDÁS $y' = \frac{1}{4} + \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^3}$ elrejt
e.) $y = \frac{2x - 5}{x^3}$	MEGOLDÁS $y' = \frac{-4}{x^3} + \frac{15}{x^4}$ elrejt
f.) $y = \frac{3x^2 + 8}{12x^3}$	MEGOLDÁS $y' = -\frac{1}{4x^2} - \frac{2}{x^4}$ elrejt

6.) Deriváld a lánc-szabály segítségével a következőket!

a.) $f(x) = (2x + 3)^5$	MEGOLDÁS f'(x) = 10 ^. (2x + 3)⁴ elrejt
b.) $f(x) = (x^2 - 9)^3$	MEGOLDÁS f'(x) = 6x ^. (x² – 9)² elrejt
c.) $f(x) = \frac{1}{x^2 + 3}$	MEGOLDÁS $f'(x) = \frac{-2x}{(x^2 + 3)^2}$ elrejt
d.) $f(x) = \frac{1}{(10x - 3)^2}$	MEGOLDÁS $f'(x) = \frac{-20}{(10x - 3)^3}$ elrejt
e.) $f(x) = \sqrt{6x - 1}$	MEGOLDÁS $f'(x) = \frac{3}{\sqrt {6x - 1}}$ elrejt
e.) $f(x) = \sqrt{x^2 - 4}$	MEGOLDÁS $f'(x) = \frac{x}{\sqrt {x^2 - 4}}$ elrejt

7. Számítsd ki a következő függvények deriváltját!

a.) f(x) = x * e^x	MEGOLDÁS f'(x) = (1 + x) ^. e^x elrejt
b.) f(x) = x² * e^x	MEGOLDÁS f'(x) = (2x + x²) ^. e^x elrejt
c.) f(x) = (3x – 2) * e^x	MEGOLDÁS f'(x) = (3x + 1) ^. e^x elrejt
d.) $f(x) = \frac{e^x}{x}$	MEGOLDÁS $f'(x) = \frac{(x - 1) * e^x}{x^2}$ elrejt
e.) f(x) = e^3x	MEGOLDÁS f'(x) = 3 ^. e^3x elrejt
f.) f(x) = e^{0,1x + 3}	MEGOLDÁS f'(x) = 0,1 ^. e^{0,1x +3} elrejt
g.) $f(x) = \frac{x^2}{e^x}$	MEGOLDÁS $f'(x) = \frac{2x - x^2}{e^x}$ elrejt
h.) $f(x) = e^{x^2}$	MEGOLDÁS $f'(x) = 2x * e^{x^2}$ elrejt

8. Számítsd ki a következő függvények deriváltját!

a.) f(x) = x * ln x	MEGOLDÁS $\frac{d}{dx} (x log(x)) = log(x) + 1$ elrejt
b.) $f(x) = \frac{ln\hspace{2pt}x}{x}$	MEGOLDÁS $\frac{d}{dx} (\frac{log(x)}{x}) = \frac{1-log(x)}{x^2}$ elrejt
c.) f(x) = (ln x)³	MEGOLDÁS $\frac{d}{dx} (log^3(x)) = \frac{3log^2(x)}{x}$ elrejt
d.) f(x) = ln x³	MEGOLDÁS $f'(x) = \frac{3}{x}$ elrejt
e.) f(x) = ln (2x – 5)	MEGOLDÁS $f'(x) = \frac{2}{2x - 5}$ elrejt
f.) f(x) = ln (x² + 1)	MEGOLDÁS $f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ elrejt

9. Számítsd ki a következő függvények deriváltját!

a.) f(x) = sin x * cos x	MEGOLDÁS f'(x) = cos² x – sin² x elrejt
b.) $f(x) = tan\hspace{2pt}x = \frac{sin\hspace{2pt}x}{cos\hspace{2pt} x}$	MEGOLDÁS $f'(x) = \frac{1}{cos^2\hspace{2pt}x}$ elrejt
c.) f(x) = sin 3x	MEGOLDÁS f'(x) = 3cos 3x elrejt
d.) f(x) = 3sin (2x + π)	MEGOLDÁS f'(x) = 6cos (2x + π) elrejt
e.) f(x) = cos x²	MEGOLDÁS f'(x) = -2x sin x² elrejt
f.) f(x) = sin² x * cos² x	MEGOLDÁS $f'(x) = \frac{sin(4x)}{2}$ elrejt

25 hozzászólás

Dávid

2024/06/17
Válasz

A 2. feladat g részében a megoldás: f'(6) = 3/28.

Mivel f'(x)=[ (1/4) * x + (3/2) + 9 * x^(-1) ]’ = (1/4) – (9/x^2).

Tehát f'(6)= (1/4) – (1/7) = 3/28.
- TudományPláza
  
  2024/06/18
  Válasz
  
  Lehet, hogy: A deriválás helyesen történt, azonban a helyettesítésnél hibázott a számításban, amikor
  9/36-et 1/7-re helyettesítette ebből helytelen eredményt kapott.
Éva

2021/03/11
Válasz

Üdv,
A 4.f feladatban a számlálóban nem 12 x^3 van 6x^3 helyett?
Köszi ezt a sok sok péládát! Hasznosak!
Eszter

2020/03/26
Válasz

A 9. d) feladatban 3sin x (2x + π) helyett 3sin(2x + π) kellene, mert úgy lesz a derivált 6cos (2x + π).
- TudományPláza
  
  2020/03/26
  Válasz
  
  Jogos, köszönjük, javítottuk.
Zsombor

2020/02/14
Válasz

Az 1/v) feladataban az 1/ (3 * x^4/3) helyett 1/ (3 * x^2/3) kell legyen.
- TudományPláza
  
  2020/02/29
  Válasz
  
  javítottuk
  - Raf
    
    2021/10/26
    Válasz
    
    A „javított” verzió a spoileren kívül van, és rossz, mert az 1/(köbgyök2) szorzó lemaradt. A spoileren belül meg ott van a régi.
    - TudományPláza
      
      2022/02/20
      Válasz
      
      Raf! Köszi, hogy szóltál. Javítva.
Laeny

2019/11/13
Válasz

Üdv!
Nekem is sok segítséget jelent e feladatok és köszönöm.
Viszont észre vettem egy hibát. Az első feldataban k) részénél, mikor a 2x^6 osztva 9-el deriválom, az 18x^5*9 osztva 9^2-el. A beszorzást elvégezve 162x^5 osztva81-el. Ezt egyszerűsítve egyszerűen 2x^5-nt kapunk. Ellenben a megoldásban más van. Előre is köszönöm, hogy megnézik az észrevételemet.
- TudományPláza
  
  2019/11/14
  Válasz
  
  Laeny, szerintünk a megoldás jó valamit nem jól számol. Már csak azért sem, mert ha a (2x^6)/9 deriváltja; (2*6*x^5)/9 ami ugyebár 12x^5/9, amit ha leegyszerűsítünk 3-mal, akkor a 4x^5/3-at kapom.
Levi

2019/07/02
Válasz

9/e szerintem hibás, a felírt függvény helyett inkább a két szögfüggvény négyzetének az összege lenne a felírt megoldás a deriváltja.
- TudományPláza
  
  2019/08/12
  Válasz
  
  Kedves Levi!
  Itt az x van a négyzeten és nem a cos x-nek a négyzetéről van szó, mint az f feladatban. Ezért a megoldás helyes. Üdv, TudományPláza
- Laeny
  
  2019/11/17
  Válasz
  
  Köszönöm szépen, valóban valahol eltévedtem, de így már meg van.
Infozseni

2019/01/15
Válasz

Az 1/t feladat megoldásában a gyökjel alatt x a négyzeten van, pedig csak simán x kellene ott legyen.
Teleki János

2019/01/12
Válasz

Kedves szerkesztők!

Az 1/p feladatnál szerintem az eredmény utolsó tagja előtt + kellene legyen a – helyett. A pontos megoldás 2x+2/3+4/x2
Egyszerűsítés előtt 2x+2/3-(-4/x2) van, a két mínusz miatt pluszra vált az előjel a zárójel felbontása után.
- TudományPláza
  
  2019/01/12
  Válasz
  
  Igen.
Donát

2019/01/07
Válasz

A 8.as feladatban az első 3 megoldás nem látható
- TudományPláza
  
  2019/01/08
  Válasz
  
  Köszönjük a jelzést.
Levente

2018/12/05
Válasz

Az 1./e) feladat megoldásában a gyök jel alatt x-nek csak az elsőn kellene lennie.
- TudományPláza
  
  2018/12/05
  Válasz
  
  Levente, biztos, hogy 1/e feladat?
Dani

2018/11/17
Válasz

Üdvözletem!
Köszönöm szépen ezt a tartalmas és segítőkész feladatsort. Sokat segít nekem.
Találtam egy hibát a 6.c-ben. A megoldás az -2x/(xˇ2+3)ˇ2.
- TudományPláza
  
  2018/11/18
  Válasz
  
  Dani,
  örülünk, hogy segíthettünk és köszönjük a visszajelzéseket. A hibákat javítottuk, ha tetszettünk kövessen bennünket Facebookon is: https://www.facebook.com/PlazaTudomany/
Lilla

2018/10/31
Válasz

A q feladatnál a második előjel (4/x^3) nem + ? A két egymás mellett levő negatív miatt
- TudományPláza
  
  2018/11/16
  Válasz
  
  Kedves Lilla,
  köszönjük, hogy szólt. Végre megnézte a kollega és tényleg hibás volt. Javítottuk.