Prímszámok vagy röviden prímek azok a természetes számok, amelyeknek pontosan két osztójuk van.

Eukleidész régies nevén Euklidész (Kr.e. 365 (?) – Kr.e. 300 (?)) óta tudjuk, hogy végtelen sok prímszám van. Elemek c. könyvének IX. 36 tétele így szól:

Ha az egységtől kezdve kétszeres arányban képezünk egy mértani sorozatot, amíg a sorösszeg prím nem lesz, és az összeggel megszorozzuk az utolsó tagot, akkor a szorzat tökéletes szám lesz.

A prímszámok fogalma az oszthatóság fogalmához kapcsolódik. Azokat a természetes számokat, melyeknek pontosan két osztójuk van, prímszámoknak vagy törzsszámoknak nevezzük. Mivel a prímeknek csak triviális osztóik vannak, semmi más, ebből következően egy prímszámot nem lehet úgy szorzattá alakítani, hogy valamelyik tényező ne 1-gyel lenne egyenlő. Ebből következik, hogy a 0 nem prímszám (hiszen végtelen sok osztója van), minden N természetes szám osztja.

Ha N prím, akkor különbözik mindegyiktől, amit összeszoroztunk, tehát nem igaz, hogy az összes prímszám szerepel az N szám képzésében.

Ha pedig N összetett szám, akkor van prímosztója. De az oszthatóság szabályai szerint ez nem lehet egyik sem a pk-ig terjedő prímszámok között. Ez azt jelenti, hogy ezzel a módszerrel mindig találhatunk új prímszámot, azaz végtelen sok prímszám van.

Az első 10 pozitív prímszám a következők: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Ha az egész számok gyűrűjében vizsgálódunk, prímszámnak azokat a számokat nevezzük, melyeknek  pontosan csak két pozitív osztójuk van. Minden, a természetes számok körében prímnek számító szám az egész számok körében is prím, és ezek ellentettjei is. (Ha a 2 prímszám, akkor a -2 is az.)

Egyetlen kettőnél nagyobb prímszám sem páros.

A prímszámok fő tulajdonsága, hogy ha egy prímszám osztója egy szorzatnak, akkor osztója a szorzat valamelyik tényezőjének is.

Ikerprímeknek nevezzük azokat a prímszámokat, amelyek különbsége (abszolút értékben) kettő.

Ilyen például a 3, 5, 7, 11 és a 13… stb. A sor itt is hosszúra nyúlik.

Régen az emberek azt hitték, hogy a prímszámok között is van legnagyobb, legutolsó. Nos tévedtek! Van egy egyszerű szabály az új prímszám megállapítására. Szorozd össze sorra a prímszámokat majd adj hozzá 1-et! A kapott szám mindig prím lesz.

Példa: 2 * 3 * 5 * 7 * 11 + 1 = 2311.

Ha nincs szuperszámítógépünk, akkor a prímszámokból táblázatot készíthetünk és ennek segítségével össze is tudjuk számolni őket. A módszer elnevezése az Eratoszthenészi-szita. Lényege, hogy az 1-től n-ig felírt egész számok közül „kiszitálják” az összetett számokat. Azok a számok, amik fennmaradnak a „szitán” (az 1 kivételével) azok prímek.

2018. december 7-én találták az eddigi legnagyobb prímet.

Az eddig talált legnagyobb prímszám 24.862.048 számjegyű és ez így az 51. ismert Mersenne-féle prímszám is. A Mersenne-prímek azok a prímszámok, melyek felírhatóak 2×2×2×…×2-1 alakban, ahol az összeszorzott 2-esek száma is prímszám (más szóval 2^n-1 alakban, ahol n szintén prím).

Még egy apró megjegyzés: a 0 minden pozitív egész számmal osztható, azaz minden természetes számnak többszöröse. A 0 csak a 0-nak osztója, mert minden k természetes számra k * 0 = 0 teljesül. A 0-t nem tekintjük sem prímszámnak, sem összetett számnak. Az 1-nek csak egy osztója van a természetes számok körében, saját maga. Az 1 sem nem prímszám, sem nem összetett szám. Továbbá bármely összetett szám, a tényezők sorrendjétől eltekintve, egyértelműen felírható prímszámok szorzataként. 

Egyébként a prímszám fogalmára több, egymással ekvivalens definíció is megadható. Bár általános iskolában általában egy definíciót tanulnak a diákok, középiskolában azonban már szó eshet arról, hogy létezik más megfogalmazás is. Ezek között azonban nincs lényegi eltérés.

Tudtad-e?

2020-ban Hillél Fürstenberg, a jeruzsálemi Héber Egyetem és Gregorij Margulis, az amerikai Yale Egyetem matematikusa kapta megosztva az egyik legfontosabb matematikai elismerést az Abel-díjat. A díj A valószínűségszámítás és a csoportelmélet dinamikái, a számelmélet és a kombinatorika módszereinek úttörő használata miatt lett az övék a norvég tudományos akadémia bejelentése szerint.

Munkásságuk új eredmények gazdag tárát nyitotta meg például a prímszámok hosszú aritmetikus sorozatának létezése előtt Hans Munthe-Kass, az Abel-bizottság elnöke szerint.