Mintafeladat a függvényvizsgálathoz
Add meg a függvény tengelyekkel való metszéspontjait, a szélsőértékeket, az inflexiós pontokat, valamint az inflexiós pontba húzott érintő egyenletét! Megoldás: Képezzük először a deriváltakat! a.) tengelyekkel való metszéspontok: » Metszéspontok az x-tengellyel: Zérushelyek: f(x)=0 Horner elrendezéssel kiszámoljuk a zérushelyeket: Együtthatók …
Az integrálszámítás szabályai
Példa: Egy függvény deriváltja a következő: f'(x) = 2x; A függvény átmegy a P (2; 7) ponton. P koordinátáit behelyettesítve: 22 + C = 7 ⇒ C = 3 f(x) = x2 + 3
Egyéb területképletek háromszögekhez
Kis háttér-kiegészítésként elmondható, hogy a Heron-képlet vagyis a sokak által Hérón-képletnek nevezett formula az Alexandriában élt Héron görög matematikusról kapta a nevét, mert ő bizonyította elsőként.
Deriválási szabályok
Fontosabb függvények deriváltjai: y = f(x) y’ = f'(x) c (konstans) 0 xn n . xn-1 sinx cosx cosx -sinx ex ex lnx Deriválási szabályok: A szabály neve Függvény Derivált Konstans-szabály y = c . f(x) y’ = c . f'(x) Összeg-szabály y = f(x) ± g(x) y’ = f'(x) ± g'(x) Szorzat-szabály y …
A határozott integrál
Adott az f(x) függvény; szeretnénk kiszámolni az [a; b] intervallumban a függvény és az x tengely közti területet.
Mintafeladatok
1.) y = 4×3 + 5×2 – 3x + 2 y’ = 4 . 3×2 + 5 . 2x – 3 = 12×2 + 10x – 3 2.) 3.) 4.) y = (x2 + 1) . sin x y’ = (x2 + 1)’ …
A differenciál- és integrálszámítás főtétele
ez azt jelenti, hogy az f(x) függvény képe alatti terület f primitív függvénye.
Területszámítás
Figyelem: Az f(x) < 0 értékekre az integrál szintén negatív. A függvény görbéje és az x tengely közötti terület lesz az integrál. Ha a függvény a megadott intervallumon egy vagy több zérushellyel rendelkezik, akkor az egyes területeket külön-külön kell kiszámolni, majd ezeket összeadni. Ha a függvény görbéje és az x tengely közötti területet úgy kell meghatározni, …
Térfogatszámítás
Az integrál segítségével térfogatot is ki tudunk számolni. Mi itt most csak forgástestekkel fogunk foglalkozunk. Ha egy görbe az x vagy y tengely mentén forog, akkor az így előálló forgástestet vékony rétegekre lehet bontani, melyek vastagsága Dx, illetve Dy, így hengereket kapunk. A térfogatszámítás képlete hasonló az előzőekhez: forgás az x tengely mentén …
Egyismeretlenes egyenletek
Az A(x) = B(x) kifejezést egyenletnek nevezzük, ahol x az ismeretlen. A és B tetszőleges algebrai kifejezések. (Az ismeretlent természetesen jelölhetjük más betűvel is!) Alaphalmaz: minden olyan szám, ami az egyenletbe behelyettesíthetőnek tűnik. (jelölése: A) Definícióhalmaz: minden elem az alaphalmazból, amelyet az egyenletbe helyettesíthetünk. (jelölése: D) Megoldáshalmaz: minden elem a definícióhalmazból, amelyet az egyenletbe helyettesítve …
