A Grand Hotel probléma egy híres gondolatkísérlet, ami a végtelen fogalmát hivatott közelebb hozni az emberekhez.
A Grand Hotel paradoxon kísérlete egy német matematikus, David Hilbert nevéhez fűződik és az alapprobléma szerint a Grand Hotel nem egy hétköznapi szálloda, mert
végtelen számú szoba található az épületben.
Tehát, az 1-es számú szobától kiindulva nincs olyan szoba, aminél ne lenne nagyobb sorszámú. Ezt megszámlálhatóan végtelennek nevezzük. A szálloda elhivatott portása egy hangosbemondó rendszerrel próbálja uralni a káoszt.
Jelenleg minden szoba ki van adva, ezért a portás először ideges lesz, amikor meglát egy új vendéget.
Szerencsére érti a matematikát, ezért hamar megoldást talál.
Az 1-es szoba lakóját átköltözteti a 2-es szobába, a 2-es szoba lakóját a 3-as szobába és így tovább. Minden n-dik szoba lakóját az n+1-dik szobába költözteti, így az új vendég elfoglalhatja az 1-es szobát.
Még szerencsétlenebb helyzetbe kerül a portás, amikor meglátja, hogy végtelen sok vendég tart a kapu felé egy végtelen sok üléssel felszerelt autóbuszon és mindegyikük külön szobát szeretne.
Megoldás:
A portás minden vendéget arra kér, hogy költözzön el abba a sorszámú szobába, amelyik saját szobaszámának kétszerese. Az 1-esben lakó tehát a 2-esbe költözik, az a 4-esbe, a 3-as a 6-osba stb. A kényszerű költözés után végtelen számú szoba szabadul fel, ahová a busz végtelen számú utasa gond nélkül beköltözhet.
A szálloda bevétele szempontjából a legjobb dolog történik, amikor végtelen számú busz áll meg a bejárat előtt, mindegyik végtelen utast szállítva. A portás természetesen szeretne minden vendéget elszállásolni, de ez már csaknem lehetetlen. Eszébe jut, egy ókori görög matematikus, Eukleidész, aki bebizonyította: végtelenül sok prímszám létezik.
A portás, miután átgondolta a kivitelezést,
a szállóvendégeket az első prímszám, a kettő annyiadik hatványának megfelelő sorszámú szobába költöztette, amennyi a vendég eredeti szobaszáma volt. A 4. szoba lakója tehát a 24 szobába költözik, a 8-as szoba lakója a 28-ba és így tovább. Ezután az első busz lakói a következő prímszám, a három hatványai alapján lesznek beosztva és így tovább a többi busznál.
Fontos észrevenni, hogy a prímszámok hatványai mindig páratlanok és a különböző prímszámok hatványai mindig különböznek. Így, a szállóvendégek és az új beköltözők között sem lesz átfedés.
Elménk már ezeket a megoldásokat is nehezen tudja elképzelni, pedig a fenti feladatok csak azért megoldhatóak, mert a Grand Hotel paradoxon a legalacsonyabb végtelen fogalmat használja. Ez a már említett megszámlálhatóan végtelen, azaz a természetes számok végtelen halmaza.
No Comment