Harmadfokú egyenletek


Harmadfokú egyenletek

Ha az egyenlet

ax3 + bx2 + cx + d = 0

illetve

x3 + pk2 +qx +r =0

alakú, akkor harmadfokú egyenletről beszélünk.

A harmadfokú egyenlet általános megoldóképlete nagyon bonyolult, és emellett gyakorlatban is alig használják. De egynéhány esetben egy harmadfokú egyenletet vissza tudunk vezetni egy másodfokúra.

Harmadfokú egyenletek

Az egyenletet felbontottuk egy lineáris és egy másodfokú egyenlet szorzatára. Ezt így már meg tudjuk oldani.

 

Ha egy gyök ismert (korábban megadták, vagy próbálgatás során kaptuk meg)

A Viéte-formula létezik magasabb fokú egyenletekre is. Tehát, ha egy harmadfokú egyenlet megoldásai x1, x2 és x3, akkor 

x3 + px2 + qx + r = (x – x1) . (x – x2) . (x – x3)

Ha például ismerjük x1-et, akkor az egyenlet bal oldalát (x – x1)-gyel eloszthatjuk és így egy másodfokú egyenletet kapunk.

Ha egyáltalán létezik megoldás az egész számok halmazán, akkor az abszolút r tag osztója kell, hogy legyen.

 

Példa:

x3 – 4x2 + x + 6 = 0

Lehetséges megoldások az egész számok közül:

+1; +2; +3; +6

Próbálgatás útján megkapjuk x1 = 2

(x3 – 4x2 + x + 6) : (x – 2) = x2 – 2x – 3

x2 – 2x – 3 = 0         ⇒ x2 = -1;         x3 = 3

 

Az úgynevezett Horner-elrendezéssel a próbálgatást és az osztást egy lépésben összefoglalhatjuk.

Previous Horner-elrendezés
Next Viète-formulák

No Comment

Leave a reply

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.