Területszámítás


Területszámítás - TUDOMÁNYPLÁZA - Matematika

Figyelem: Az f(x) < 0 értékekre az integrál szintén negatív. A függvény görbéje és az x tengely közötti terület lesz az integrál.

  • Ha a függvény a megadott intervallumon egy vagy több zérushellyel rendelkezik, akkor az egyes területeket külön-külön kell kiszámolni, majd ezeket összeadni.
  • Ha a függvény görbéje és az x tengely közötti területet úgy kell meghatározni, hogy semmilyen intervallum nincs megadva, akkor előbb meg kell határoznunk a zérushelyeket – ezek lesznek az integrációs határok.
  • Két függvény f(x) és g(x) közti területet a következő képlettel lehet kiszámolni:

 

    \[ A = \int_{x_1}^{x^2} (f(x) - g(x))dx\]

Az integrációs határ (határok) a két függvény metszéspontjának x koordinátája (koordinátái). Ha több mint két metszéspontjuk van, akkor ismét az egyes területeket külön-külön kell kiszámolni.

Példa:

1.) Mekkora az f(x) = x² – 1 függvény x tengellyel bezárt területe a = 0 és b = 2 között?

A függvénynek x1 = 1-nél zérushelye van, tehát 0-tól 1-ig, majd 1-től 2-ig kell integrálnunk.

    \[ \int_{0}^{1} (x^2 - 1) dx  = \Bigg[ \frac{x^3}{3} - x \Bigg]^1_0 = -\frac{2}{3}\]

 

    \[ \int_{1}^{2} (x^2 - 1) dx  = \Bigg[ \frac{x^3}{3} - x \Bigg]^2_1 = -\frac{4}{3}\]

 

    \[ A  = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2\]

 

 

területszámítás - A függvénynek x1 = 1-nél zérushelye van, tehát 0-tól 1-ig, majd 1-től 2-ig kell integrálnunk.

 

2.) Mekkora az f(x) = -x³+ 3x² függvény x tengellyel bezárt területe?

Zérushelyek meghatározása, -x3 + 3x2 = o            ⇒  x2 (-x + 3) = 0

                           x1 = 0                 -x + 3 = 0 ⇒ x2 = 3

    \[ A = \int_{0}^{3} (-x^3 + 3x^2) dx  = \Bigg[ -\frac{x^4}{4} + x^3 \Bigg]^3_0 = 6\frac{3}{4}\]

 

 területszámítás

 

3.) Mekkora az f(x) = x² és g(x) = x³függvények által bezárt terület nagysága?

Metszéspontok meghatározása,

x2 = x3                   ⇒ x3 – x2 = 0              ⇒ x2 (x – 1) = 0

                                                                 x1 = 0             x – 1 = 0 ⇒ x2 = 1

    \[ A = \int_{0}^{3} (x^3 - x^2) dx  = \Bigg[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\Bigg]^1_0 = \frac{1}{12}\]

 

metszéspontok meghatározása

Previous Térfogatszámítás
Next A differenciál- és integrálszámítás főtétele

No Comment

Leave a reply

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.