Feladatok függvényvizsgálathoz


Feladatok függvényvizsgálathoz

Vizsgáld meg és rajzold fel a következő függvények képét! (Zérushelyek, szélsőértékek, inflexiós pont, az inflexiós pontba húzott érintő egyenlete.)

1.) f(x) = x2 – x – 2

MEGOLDÁS

  1. lépés: Deriváltak képzése

f'(x) = 2x – 1

f”(x) = 2

f”'(x) = 0

 

2. lépés: Zérushelyek     f(x) = 0

x2 – x – 2 = 0

    \[x_{1;2} = \frac{1 \pm \sqrt{-1^2 - 4 * -2}}{2 * 1} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} =\]

    \[= \frac{1 \pm 3}{2} = \hspace{5}\rightarrow \hspace{5} x_1 = 2\]

    \[\hspace{140} \searrow \hspace{5}x_2 = -1\]

N1 (2; 0)                N2 (-1; 0)

 

Metszéspontok a tengellyel: 

x = 0                   y = 02 – 0 – 2 = -2

Sy (0; -2)

 

3. lépés: Szélsőértékek: f'(x) = 0

    \[= 2x - 1 = 0\hspace{25} \Rightarrow \hspace{10} x =\frac{1}{2}\]

    \[y = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} - 2  = 2,25\]

    \[ E (\frac{1}{2} ; 2,25)\]

 

Kérdés: maximum vagy minimum?

f”(x) < o    maximum

f”(x) > o    minimum

    \[ f''(\frac{1}{2}) = 2 \hspace{25} > o \hspace{10}   minimum\]

 

4. lépés: Inflexiós pont nincs.

Inflexiós pont nincs - Feladatok

elrejt

2.) f(x) = x3 – 6x2 + 9

MEGOLDÁS

1. lépés: Deriváltak képzése

f'(x) = 3x2 – 12x + 9

f”(x) = 6x – 12

f”'(x) = 6

 

2. lépés: Zérushelyek     f(x) = 0

Horner-elrendezéssel

N1 (3; 0)                N2 (0; 0)

 

Metszéspontok a tengellyel: 

x = 0                   y = 03 – 6 . 02 – 9 . 0 = 0

Sy (0; 0)

 

3. lépés: Szélsőértékek: f'(x) = 0

3x2 – 12x + 9 = 0                   ⇒      x1 = 3        x2 = 1

y1 = 0          y2 = 4

E1 (3; 0) = min                  E2 (1; 4) = max

 

Kérdés: maximum vagy minimum?

f”(x) < o    maximum

f”(x) > o    minimum

f”(x1) = f”(3) = 6      > 0     minimum = min

 f”(x2) = f”(1) = -6      < 0     maximum = max

 

4. lépés: Inflexiós pont: f”(x) = 0

6x – 12 = 0

    \[ x = \frac{1}{2} \hspace{20}\Rightarrow y = f(x) = 3\frac{1}{8}\]

    \[ W(\frac{1}{2}; 3\frac{1}{8})\]

 

Inflexiós pontba húzott érintő egyenlete: k = f'(x)

    \[ y - 3\frac{1}{8} = \frac{15}{4}* (x - \frac{1}{2}) = \frac{15}{4}x + \frac{10}{8}\]

Inflexiós pont - Feladatok

elrejt

3.)

    \[f(x) = -\frac{x^4}{4} + x^3\]

MEGOLDÁS

1. lépés: Deriváltak képzése

f'(x) = -x3 + 3x2 

f”(x) = -3x2 + 6

f”'(x) = -6

 

2. lépés: Zérushelyek     f(x) = 0

Horner-elrendezéssel

N1 (0; 0)                N2 (4; 0)

 

Metszéspontok a tengellyel: 

x = 0                   

    \[y = -\frac{0^4}{4} + 0^3 = 0\]

Sy (0; 0)

 

3. lépés: Szélsőértékek: f'(x) = 0

-x3 + 3x2 = 0                   ⇒      x1 = 0        x2 = 3

y1 = 0          y2 = 6,75

E1 (0; 0) = min                  E2 (3; 6,75) = max

 

Kérdés: maximum vagy minimum?

f”(x) < o    maximum

f”(x) > o    minimum

f”(x1) = f”(0) = 6      > 0     minimum = min

 f”(x2) = f”(3) = -21      < 0     maximum = max

 

4. lépés: Inflexiós pont: f”(x) = 0

-3x2 + 6 = 0

x1 = √2      x2 = -√2                 ⇒ y1 = f(x) = 1,82

                        y2 =  f(x) = -3,82

W1(√2; 1,82)          W2(-√2; -3,82)

 

Inflexiós pontba húzott érintő egyenlete: k = f'(x)

k1 = f'(√2) = 3,17                           k2 = f'(-√2) = 8,82

y – 1,82 = 3,17 . (x – √2) 

y1 = 3,17x – 2,66

y + 3,82 = -3,82 . (x + √2) 

y2 = -3,82x – 9,22

Inflexiós pont - Feladatok 3

elrejt

4.)

    \[f(x) = -\frac{x^3}{4} - 3x\]

MEGOLDÁS

1. lépés: Deriváltak képzése

 

    \[f'(x) = \frac{3}{4}x^2 - 3\]

    \[f''(x) = \frac{3}{2}x\]

    \[f'''(x) = \frac{3}{2}\]

 

2. lépés: Zérushelyek     f(x) = 0

Horner-elrendezéssel

N1 (0; 0)                N2 (-2√3; 0)

 

Metszéspontok a tengellyel: 

x = 0                 y = 0  

Sy (0; 0)

 

3. lépés: Szélsőértékek: f'(x) = 0

    \[\frac{3}{4}x^2 - 3 = 0 \Rightarrow \hspace{30} x_1 = 2 \hspace{15} x_2 = -2\]

 

y1 = -4          y2 = 4

E1 (2; -4) = min                  E2 (-2; 4) = max

 

Kérdés: maximum vagy minimum?

f”(x) < o    maximum

f”(x) > o    minimum

f”(x1) = f”(2) = 3      > 0     minimum = min

f”(x2) = f”(-2) = -3      < 0     maximum = max

 

4. lépés: Inflexiós pont: f”(x) = 0

    \[\frac{3}{2}x = 0 \hspace{30} x = 0 \hspace{30}\Rightarrow y = f(x) = 0\]

W(0; 0)

 

Inflexiós pontba húzott érintő egyenlete: k = f'(x)

y – 0 = -3 . (x – 0) 

y = -3x

 

Inflexiós pont - Feladatok 4 

elrejt

5.)

    \[f(x) = -\frac{x^3}{6} + x^2\]

MEGOLDÁS

1. lépés: Deriváltak képzése

 

    \[f'(x) = \frac{1}{2}x^2 + 2x\]

    \[f''(x) = x + 2\]

    \[f'''(x) = 1\]

 

2. lépés: Zérushelyek     f(x) = 0

Horner-elrendezéssel

N1 (0; 0)                N2 (-6; 0)

 

Metszéspontok a tengellyel: 

x = 0                 y = 0  

Sy (0; 0)

 

3. lépés: Szélsőértékek: f'(x) = 0

    \[\frac{1}{2}x^2 + 2x = 0 \Rightarrow \hspace{30} x_1 = 0 \hspace{15} x_2 = -4\]

y1 = 0          y2 = 5,33

E1 (0; 0) = min                  E2 (-4; 5,33) = max

 

Kérdés: maximum vagy minimum?

f”(x) < o    maximum

f”(x) > o    minimum

f”(x1) = f”(0) = 2      > 0     minimum = min

f”(x2) = f”(-4) = -2      < 0     maximum = max

 

4. lépés: Inflexiós pont: f”(x) = 0

x + 2 = 0

x = -2                ⇒ y = f(x) = 2,66

W(-2; 2,66)

 

Inflexiós pontba húzott érintő egyenlete: k = f'(x)

y – 2,66 = -6 . (x + 2) 

y = -6x – 9,34

Inflexiós pont - Feladatok 5

 

 

elrejt

6.) f(x) = x3 – 3x2 + 4

MEGOLDÁS

1. lépés: Deriváltak képzése

 

f'(x) = 3x2 – 6x

f”(x) = -6x – 6

f”'(x) = 6

 

2. lépés: Zérushelyek     f(x) = 0

Horner-elrendezéssel

N1 (-1; 0)                N2 (2; 0)

 

Metszéspontok a tengellyel: 

x = 0                 y = 03 – 3 . 02 + 4 = 0  

Sy (0; 4)

 

3. lépés: Szélsőértékek: f'(x) = 0

3x2 – 6x = 0             ⇒         x1 = 0      x2 = 2

y1 = 4          y2 = 0

E2 (2; 0) = min                  E1 (0; 4) = max

 

Kérdés: maximum vagy minimum?

f”(x) < o    maximum

f”(x) > o    minimum

f”(x1) = f”(0) = -6     < 0     maximum = max

f”(x2) = f”(2) = 6       > 0     minimum = min

 

4. lépés: Inflexiós pont: f”(x) = 0

6x – 6 = 0

x = 1                ⇒ y = f(x) = 2

W(1; 2)

 

Inflexiós pontba húzott érintő egyenlete: k = f'(x)

y – 2 = -3 . (x – 1) 

y = -3x + 5

Inflexiós pont - Feladatok 6

 

 

elrejt

7.)

    \[f(x) = x^3 + \frac{x}{2} - 9\]

MEGOLDÁS

1. lépés: Deriváltak képzése

 

    \[f'(x) = 3x^2 + \frac{1}{2}\]

    \[f''(x) = 6x\]

    \[f'''(x) = 6\]

 

2. lépés: Zérushelyek     f(x) = 0

Horner-elrendezéssel

N1 (2; 0)

 

Metszéspontok a tengellyel: 

x = 0                 y = -9  

Sy (0; -9)

 

3. lépés: Szélsőértékek: f'(x) = 0

    \[3x^2 + \frac{1}{2} = 0 \]

⇒ diszkrimináns < 0   nincs szélsőérték

 

  

4. lépés: Inflexiós pont: f”(x) = 0

6x = 0

x = 0                ⇒ y = f(x) = -9

W(0; -9)

 

Inflexiós pontba húzott érintő egyenlete: k = f'(x)

    \[y + 9 = \frac{1}{2} * (x - 0) \]

    \[y = \frac{1}{2}x - 9 \]

Inflexiós pont - Feladatok 7

 

 

elrejt

8.) f(x) = 2x3 – 6x2 + 6x

MEGOLDÁS

1. lépés: Deriváltak képzése

 

f'(x) = 6x2 – 12x + 6

f”(x) = 12x – 12

f”'(x) = 12

 

2. lépés: Zérushelyek     f(x) = 0

Horner-elrendezéssel

N1 (0; 0)

 

Metszéspontok a tengellyel: 

x = 0                 y = 0 

Sy (0; 0)

 

3. lépés: Szélsőértékek: f'(x) = 0

6x2 – 12x + 6 = 0             ⇒         x1 =  x2 = 1

y = 2

E (1; 2) = inflexiós pont

 

Kérdés: maximum vagy minimum?

f”(x) < o    maximum

f”(x) > o    minimum

f”(x) = f”(1) = 0     < 0     inflexiós pont

 

4. lépés: Inflexiós pont: f”(x) = 0

12x – 12 = 0

x = 1                ⇒ y = f(x) = 0

W(1; 0)

 

Inflexiós pontba húzott érintő egyenlete: k = f'(x)

y – 0 = 0 . (x – 1) 

y = 0

Inflexiós pont - Feladatok 8 

elrejt

9.)

    \[f(x) = \frac{1}{4} * (x^3 - 3x^2 - 9x + 27)\]

 
10.)

    \[f(x) = \frac{1}{3} * (-x^3 + 3x^2 + 9x + 5)\]

MEGOLDÁS

1. lépés: Deriváltak képzése

 

    \[f'(x) = \frac{1}{3} * (-3x^2 + 6x + 9) \]

    \[f''(x) = \frac{1}{3} * (-6x + 6)\]

    \[f'''(x) = \frac{1}{3} * -6 = -2\]

 

2. lépés: Zérushelyek     f(x) = 0

Horner-elrendezéssel

N1 (-1; 0)             N2 (5; 0)

 

Metszéspontok a tengellyel: 

x = 0                

    \[ y = \frac{5}{3}\]

    \[ S_y (0; \frac{5}{3})\]

 

3. lépés: Szélsőértékek: f'(x) = 0

    \[\frac{1}{3} * (-3x^2 + 6x + 9) = 0 \]

⇒ x1 = 3                x2 = -1

    \[y_1 = \frac{32}{3} \hspace{25} y_2 = 0 \]

 

    \[E_1 (3;\frac{32}{3}) = max \hspace{25} E_2 (-1; 0) = min \]

 

  

Kérdés: maximum vagy minimum?

f”(x) < o    maximum

f”(x) > o    minimum

f”(x1) = f”(3) = -4     < 0     maximum = max

f”(x2) = f”(-1) = 4       > 0     minimum = min

 

4. lépés: Inflexiós pont: f”(x) = 0

    \[\frac{1}{3} * (-6x + 6 = 0) \]

x = 1                ⇒ y = f(x) = 6

W(1; 6)

 

Inflexiós pontba húzott érintő egyenlete: k = f'(x)

 

y – 6 = 4 . (x – 1)

y = 4x + 2

 Inflexiós pont - Feladatok 10

 

elrejt

11.)

    \[f(x) = \frac{1}{10} * (2x + 3) * (x^2 - 6)\]

MEGOLDÁS

1. lépés: Deriváltak képzése

f'(x) = 0,6x2 + 0,6x – 1,2

f”(x) = 1,2x + 0,6

f”'(x) = 1,2

 

2. lépés: Zérushelyek     f(x) = 0

Horner-elrendezéssel

N1 (√6; 0)                N2 (-1,5; 0)                N3 (-√6; 0)

 

Metszéspontok a tengellyel: 

x = 0                   y = -1,8

Sy (0; -1,8)

 

3. lépés: Szélsőértékek: f'(x) = 0

0,6x2 + 0,6x – 1,2 = 0                   ⇒      x1 = 1        x2 = -2

y1 = -2,25          y2 = 0,2

E1 (1; -2,5) = min                  E2 (-2; 0,2) = max

 

Kérdés: maximum vagy minimum?

f”(x) < o    maximum

f”(x) > o    minimum

f”(x1) = f”(1) = 1,8      > 0     minimum = min

 f”(x2) = f”(-2) = -1,8      < 0     maximum = max

 

4. lépés: Inflexiós pont: f”(x) = 0

1,2x + 0,6 = 0

    \[ x = -\frac{1}{2} \hspace{20}\Rightarrow y = f(x) = -1,15\]

    \[ W(-\frac{1}{2}; -1,15)\]

 

Inflexiós pontba húzott érintő egyenlete: k = f'(x)

    \[ y + 1,15 = -1,35 * (x + \frac{1}{2}) \hspace{25}y = 1,35x - 1,825\]

Inflexiós pont - Feladatok 11

 

elrejt

12.)

    \[f(x) = \frac{1}{2} * (x^4 - 6x^2 + 9)\]

MEGOLDÁS

1. lépés: Deriváltak képzése

f'(x) = 2x3 – 6x

f”(x) = 6x2 – 6

f”'(x) = 12x

 

2. lépés: Zérushelyek     f(x) = 0

Horner-elrendezéssel

N1 (√3; 0)                N2 (-√3; 0)

 

Metszéspontok a tengellyel: 

x = 0                   y = 4,5

Sy (0; 4,5)

 

3. lépés: Szélsőértékek: f'(x) = 0

2x3 – 6x = 0                   ⇒      x1 = 0       x2 = √3        x3 = -√3

y1 = 4,5          y2 = 0         y3 = 0

E1 (0; 0) = max                  E2 (√3; 0) = min          E3 (-√3; 0) = min

 

Kérdés: maximum vagy minimum?

f”(x) < o    maximum

f”(x) > o    minimum

f”(x1) = f”(0) = -6      < 0     maximum = max

f”(x2) = f”(√3) = 12      > 0     minimum = min

f”(x3) = f”(-√3) = 12      > 0     minimum = min

 

4. lépés: Inflexiós pont: f”(x) = 0

6x2 – 6 = 0

x1 = 1          x2 = -1          ⇒ y1 = f(x1) = 2          y2 = f(x2) = 2

W1(1; 2)         W2(-1; 2)

 

Inflexiós pontba húzott érintő egyenlete: k = f'(x)

 y1 – 2 = -4 * (x – 1)                 y2 – 2 = 4 * (x + 1) 

y1 = -4x + 6                 y2 = 4x + 6 

Inflexiós pont - Feladatok 12

 

elrejt

13.)

    \[f(x) = \frac{x^4}{16} - \frac{3x^2}{2} + 5)\]

MEGOLDÁS

1. lépés: Deriváltak képzése

 

    \[f'(x) = \frac{1}{4}x^3 - 3x\]

    \[f''(x) = \frac{3}{4}x^2 - 3\]

    \[f'''(x) = \frac{3}{2}x\]

 

2. lépés: Zérushelyek     f(x) = 0

Horner-elrendezéssel

N1 (2; 0)                N2 (-2; 0)

 

Metszéspontok a tengellyel: 

x = 0                 y = 5  

Sy (0; 5)

 

3. lépés: Szélsőértékek: f'(x) = 0

    \[\frac{1}{4}x^3 - 3x = 0 \Rightarrow \hspace{30} x_1 = 0 \hspace{15} x_2 = \sqrt{12} \hspace{15}x_3 = -\sqrt{12}\]

y1 = 5          y2 = -4           y3 = -4

E1 (0; 5) = max                 E2 (√12; -4) = min               E3 (-√12; -4) = min

 

Kérdés: maximum vagy minimum?

f”(x) < o    maximum

f”(x) > o    minimum

f”(x1) = f”(0) = -3        < 0 maximum = max

f”(x2) = f”(√12) = 6      > 0  minimum = min

f”(x3) = f”(-√12) = 6      > 0  minimum = min

 

4. lépés: Inflexiós pont: f”(x) = 0

    \[\frac{3}{4}x^2 - 3 = 0\]

x1 = 2         x2 = -2       ⇒ y1 = f(x1) = 2      y2 = f(x2) = 2

W1(2; 0)           W2(-2; 0)

 

Inflexiós pontba húzott érintő egyenlete: k = f'(x)

 y1 – 0 = 2 * (x – 2)                 y2 – 0 = -2 * (x + 2) 

y1 = 2x – 4                 y2 = -2x – 4 

 

 Inflexiós pont - Feladatok 13

 

elrejt

 

A függvényképek helyesek, de előfordulhat, hogy az eredményeket elszámoltam. Ha így lenne, kérlek, jelezd a hibát a hibás feladatot!

Previous Agyérkatasztrófák nyomában
Next Könyvajánló - a matematika szeretetéért

No Comment

Leave a reply

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.