Feladatok és megoldások deriválás témakörben


Differenciálszámítási feladatok és megoldások

 

1.) Számítsd ki a következő függvények deriváltjait!

a.)  f(x) = x100

MEGOLDÁS

f'(x) = 100x99 

elrejt

 
b.)  f(x) = 3x5

MEGOLDÁS

f'(x) = 15x4 

elrejt

 
c.)  f(x) = 5x12

MEGOLDÁS

f'(x) = 60x11 

elrejt

 
d.)  f(x) = 0,5x4

MEGOLDÁS

f'(x) = 2x3 

elrejt

 
e.)  

    \[f(x) = \frac{x^6}{9}\]

MEGOLDÁS

    \[f'(x) = \frac{6x^5}{9} = \frac{2x^5}{3}\]

elrejt

 
f.)  f(x) = 3x3 + 4x2 – 5x

MEGOLDÁS

    \[f'(x) = 9x^2 + 8x - 5\]

elrejt

 
g.) f(x) = x4 – 6x3 + 5x2 + 3

MEGOLDÁS

    \[f'(x) = 4x^3 - 18x^2 + 10x\]

elrejt

 
h.)  f(x) = 2x3 – 12x2 + 7x – 8

MEGOLDÁS

    \[f'(x) = 6x^2 - 24x + 7\]

elrejt

 
i.)

    \[f(x) = \frac{x^4}{2} + 4x^3 - 5x^2\]

MEGOLDÁS

    \[f'(x) = 2x^3 + 12x^2 - 10x\]

elrejt

 
j.) 

    \[f(x) = \frac{x^3}{6} - 3\frac{x^2}{4} + \frac{5x}{2} - \frac{1}{3}\]

MEGOLDÁS

    \[f'(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{3x}{2} + \frac{5}{2}\]

elrejt

 
k.) 

    \[f(x) = \frac{x^{10}}{5} + \frac{2x^6}{9} - \frac{5x^2}{2}\]

 

MEGOLDÁS

    \[f'(x) = 2x^9 + \frac{4x^5}{3} - 5x\]

elrejt

 
l.) 

    \[f(x) = \frac{1}{x^3}\]

 

MEGOLDÁS

    \[f'(x) = -\frac{3}{x^4}\]

elrejt

 
m.) 

    \[f(x) = \frac{3}{x^2}\]

 

MEGOLDÁS

    \[f'(x) = -\frac{6}{x^3}\]

elrejt

 
n.) 

    \[f(x) = \frac{1}{2x^4}\]

 

MEGOLDÁS

    \[f'(x) = -\frac{2}{x^5}\]

elrejt

 
o.) 

    \[f(x) = \frac{2}{3x^6}\]

 

MEGOLDÁS

    \[f'(x) = -\frac{4}{x^7}\]

elrejt

 
p.) 

    \[f(x) = x^2 + \frac{2x}{3} - \frac{1}{6} -  \frac{4}{x}\]

 

MEGOLDÁS

    \[f'(x) = 2x + \frac{2}{3} - \frac{4}{x^2}\]

elrejt

 
q.) 

    \[f(x) = \frac{3}{x^3} - \frac{2}{x^2} +  \frac{1}{3x}\]

 

MEGOLDÁS

    \[f'(x) = -\frac{9}{x^4} - \frac{4}{x^3} - \frac{1}{3x^2}\]

elrejt

 
r.) 

    \[f(x) = \frac{1}{x^4} - \frac{6}{x^3} +  \frac{12}{x^3} - \frac{8}{x} + 2\]

 

MEGOLDÁS

    \[f'(x) = -\frac{4}{x^5} - \frac{18}{x^4} + \frac{8}{x^2}\]

elrejt

 
s.) 

    \[f(x) = \sqrt[3]{x}\]

 

MEGOLDÁS

    \[f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\]

elrejt

 
t.) 

    \[f(x) = \sqrt{x^3}\]

 

MEGOLDÁS

    \[f'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x^2}\]

elrejt

 
u.) 

    \[f(x) = 8 * \sqrt{x} - 2 * \sqrt[4]{x}\]

 

MEGOLDÁS

    \[f'(x) = \frac{4}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2 * \sqrt[4]{x^3}}\]

elrejt

 

v.) 

    \[f(x) = \sqrt[3]{\frac{x}{2}} + \frac{1}{\sqrt {x} }\]

 

MEGOLDÁS

    \[f'(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} * \frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}} - \frac{1}{2} * \frac{1}{\sqrt{x^3}}\]

elrejt

 

 

2.) Számítsd ki a következő függvények deriváltjait az x = x0 pontban!

a.)  f(x) = 3x2

       x0 = 4 

MEGOLDÁS

    \[\frac{3 * (4 + \Delta x)^2 - 3 * 4^2}{\Delta x} = \frac{3 * (16 + 8 * \Delta x + \Delta x^2) - 48}{\Delta x} = \]

    \[\frac{48 + 24 * \Delta x) + \Delta x^2 - 48}{\Delta x} = \frac{24 * \Delta x + \Delta x^2}{\Delta x} = 24 + \Delta x \Rightarrow 24\]

elrejt

b.)  

    \[ f(x) = \frac{x^4}{2}\]

       x0 = 3 

MEGOLDÁS

54

elrejt

  

c.)  f(x) = 2x5 – 5x4 + 3x2

       x0 = 1 

MEGOLDÁS

-4

elrejt

  

d.)  f(x) = 7x3 + 9x2 + 8

       x0 = -1 

MEGOLDÁS

3

elrejt

  

e.)  

    \[ f(x) = \frac{1}{x}\]

       x0 = 2 

MEGOLDÁS

    \[-\frac{1}{4}\]

elrejt

  

f.)  

    \[ f(x) = 4 - \frac{2}{x^2}\]

       x0 = 3 

MEGOLDÁS

    \[\frac{4}{27}\]

elrejt

  

g.)  

    \[ f(x) = \frac{x}{4} + \frac{3}{2} + \frac{9}{x}\]

       x0 = 6 

MEGOLDÁS

0

elrejt

  

h.)  

    \[ f(x) = \sqrt{x}\]

       x0 = 9 

MEGOLDÁS

    \[\frac{1}{6}\]

elrejt

  

 

3.) Számítsd ki a következő függvények deriváltját:

(A) a szorzat-szabály segítségével
(B) először elvégzed a beszorzást!

a.) y = (2x + 3) . (2x – 1) 

MEGOLDÁS

8x + 4 

elrejt

  
b.) y = (x + 4) . (x2 – 2)

MEGOLDÁS

3x2 + 8x – 2 

elrejt

  
c.) y = (3x2 – 5) . (x2 + 3x)

MEGOLDÁS

12x3 – 10x + 27x2 – 15 

elrejt

  
d.) y = (x2 + 2x + 1) . (2x – 2)

MEGOLDÁS

6x2 + 4x – 2 

elrejt

  
e.) y = (2x + 3) . (4x2 – 6x + 9)

MEGOLDÁS

24x2 

elrejt

  
f.) y = (x3 + 4x – 5) . (2x2 -6x + 6)

MEGOLDÁS

10x4 – 24x3 + 42x2 – 68x + 54 

elrejt

  

 

4. Deriváld a következőket!

a.)

    \[y = \frac{x - 1}{x + 4}\]

MEGOLDÁS

    \[y' =\frac{5}{(x + 4)^2}\]

elrejt

   
b.)

    \[y = \frac{2x + 1}{3x - 5}\]

MEGOLDÁS

    \[y' =\frac{-13}{(3x - 5)^2}\]

elrejt

   
c.)

    \[y = \frac{2x}{x^3 + 2}\]

MEGOLDÁS

    \[y' =\frac{4 - 4x^3}{(x^3 + 2)^2}\]

elrejt

   
d.)

    \[y = \frac{x^2 - 5x}{x^2 - 4}\]

MEGOLDÁS

    \[y' =\frac{5x^2 - 8x + 20}{(x^2 - 4)^2}\]

elrejt

   
e.)

    \[y = \frac{2x^2 - 3x + 1}{6x + 5}\]

MEGOLDÁS

    \[y' =\frac{12x^2 + 20x - 21}{(6x + 5)^2}\]

elrejt

   
f.)

    \[y = \frac{x^3 - 1}{x^2 + 3x}\]

MEGOLDÁS

    \[y' =\frac{x^4 + 6x^3 + 2x + 3}{(x^2 + 3x)^2}\]

elrejt

   

 

5.) Számítsd ki a következő függvények deriváltját:

(A) a hányados-szabály segítségével
(B) először elvégzed az osztást!

a.)

    \[y = \frac{x^2 + 3}{x}\]

MEGOLDÁS

    \[y' = 1 - \frac{3}{x^2}\]

elrejt

 
b.)

    \[y = \frac{x^2 - 6x + 9}{3x}\]

MEGOLDÁS

    \[y' = \frac{1}{3} - \frac{3}{x^2}\]

elrejt

c.)

    \[y = \frac{3x^3 - 4x^2}{x^2}\]

MEGOLDÁS

y’ = 3

elrejt

d.)

    \[y = \frac{x^3 + 6x^2 - 8x - 2}{4x^2}\]

MEGOLDÁS

    \[y' = \frac{1}{4} + \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^3}\]

elrejt

e.)

    \[y = \frac{2x - 5}{x^3}\]

MEGOLDÁS

    \[y' = \frac{-4}{x^3} + \frac{15}{x^4} \]

elrejt

f.)

    \[y = \frac{3x^2 + 8}{12x^3}\]

MEGOLDÁS

    \[y' = -\frac{1}{4x^2} - \frac{2}{x^4} \]

elrejt

 

6.) Deriváld a lánc-szabály segítségével a következőket!

a.)  

    \[ f(x) = (2x + 3)^5\]

 

MEGOLDÁS

f'(x) =  10 . (2x + 3)

elrejt

 
b.)  

    \[ f(x) = (x^2 - 9)^3\]

 

MEGOLDÁS

 f'(x) =  6x . (x2 – 9)

elrejt

 
c.)  

    \[ f(x) = \frac{1}{x^2 + 3}\]

 

MEGOLDÁS

    \[f'(x) = \frac{-2}{(x^2 + 3)^2} \]

elrejt

d.)  

    \[ f(x) = \frac{1}{(10x - 3)^2}\]

 

MEGOLDÁS

    \[f'(x) = \frac{20}{(10x - 3)^3} \]

elrejt

e.)  

    \[ f(x) = \sqrt{6x - 1}\]

 

MEGOLDÁS

    \[f'(x) = \frac{3}{\sqrt {6x - 1}} \]

elrejt

e.)  

    \[ f(x) = \sqrt{x^2 - 4}\]

 

MEGOLDÁS

    \[f'(x) = \frac{x}{\sqrt {x^2 - 4}} \]

elrejt

 

7. Számítsd ki a következő függvények deriváltját!

a.) f(x) = x * ex 

MEGOLDÁS

 f'(x) =  (1 + x) . e

elrejt

  
b.) f(x) = x2 * ex

MEGOLDÁS

 f'(x) =  (2x + x2. e

elrejt

  
c.) f(x) = (3x – 2) * ex

MEGOLDÁS

 f'(x) =  (3x + 1) . e

elrejt

  
d.)  

    \[ f(x) = \frac{e^x}{x}\]

 

MEGOLDÁS

    \[f'(x) = \frac{(x - 1) * e^x}{x^2} \]

elrejt

e.) f(x) = e3x

MEGOLDÁS

 f'(x) =  3 . e3x 

elrejt

  
f.) f(x) = e0,1x + 3

MEGOLDÁS

 f'(x) =  0,1 . e0,1x +3 

elrejt

  
g.)

    \[ f(x) = \frac{x^2}{e^x}\]

MEGOLDÁS

    \[f'(x) = \frac{2x - x^2}{e^x} \]

elrejt

h.)

    \[ f(x) = e^{x^2}\]

MEGOLDÁS

    \[f'(x) = 2x * e^{x^2}\]

elrejt

 

8. Számítsd ki a következő függvények deriváltját!

a.) f(x) = x * ln x

MEGOLDÁS

elrejt

b.)

    \[f(x) = \frac{ln\hspace{2pt}x}{x}\]

MEGOLDÁS

elrejt

c.) f(x) = (ln x)3

MEGOLDÁS

elrejt

d.) f(x) = ln x3

MEGOLDÁS

    \[f'(x) = \frac{3}{x}\]

elrejt

e.) f(x) = ln (2x – 5)

MEGOLDÁS

    \[f'(x) = \frac{2}{2x - 5}\]

elrejt

f.) f(x) = ln (x2 + 1)

MEGOLDÁS

    \[f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\]

elrejt

 

9. Számítsd ki a következő függvények deriváltját!

a.) f(x) = sin x * cos x

MEGOLDÁS

f'(x) = cos2 x – sin2 x

elrejt

b.)

    \[f(x) = tan\hspace{2pt}x = \frac{sin\hspace{2pt}x}{cos\hspace{2pt} x}\]

MEGOLDÁS

    \[f'(x) = \frac{1}{cos^2\hspace{2pt}x}\]

elrejt

c.) f(x) = sin 3x

MEGOLDÁS

f'(x) = 3cos 3

elrejt

d.) f(x) = 3sin x (2x + π)

MEGOLDÁS

f'(x) = 6cos (2x + π) 

elrejt

e.) f(x) = cos x2

MEGOLDÁS

f'(x) = -2x sin x2 

elrejt

f.) f(x) = sin2 x * cos2 x

MEGOLDÁS

f'(x) = 0 

elrejt

Previous A differenciálhányados
Next Harangok és legendák

No Comment

Leave a reply

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.